Помогите решить геометрическую задачу (прямоугольный треуг-к

[Sveta_68]

Раздел: Прямоугольный треугольник
В прямоугольном треугольнике AВС катеты АВ и ВС
относятся как 1:2. На гипотенузе АС выбраны точки М и N так, что
отрезки ВM и BN делят угол на три равные части. Найти отношение
отрезков ВM и BN.

Заранее благодарна.

[gris]

Ну вот и хорошо, а то сообщение удалите крестиком. Он внизу под текстом слева от кнопки вставка.
Теперь бы рассказали, что Вам там непонятно. Прямой угол делим на три равные части. Это же по $30^{\circ}$. Опустим перпендикуляры из $M$ и $N$ на любой катет. Получаются различные подобные треугольники.

[Sveta_68]

Я не так решала задачу. Я рассматривала поочерёдно треугольники, для которых ВМ и BN являются биссектрисами, использовала формулу длины биссектрисы, выражая оттуда катет, затем приравнивая выражения, получила отношение$BM/BN=(2+\sqrt3)/(2\sqrt3+1)$. А ответ в задаче другой $BM/BN=(3\sqrt3+4)/11$.
C подобием не вижу как работать, подскажите.

AKM:

Заменил sqrt() на \sqrt{...}
Получились настоящие корни.

[gris]

А у Вас правильный ответ, кстати. Просто перед sqrt надо ставить \, тогда формула примет вид $\dfrac {2+\sqrt 3}{2\sqrt 3+1}$ и её можно преобразовать к виду без иррациональности в знаменателе, домножив его и числитель на сопряжённое выражение. И Вы увидите, что Ваш ответ в точности равен "другому".

Ещё кстати. В условии не прописан порядок следования точек на гипотенузе. Если $A\to M \to N \to B$, то ответ такой, а вот если $A\to N \to M \to B$, то ответ будет обратен Вашему. Всегда прежде чем обвинять себя в несовпадении с ответом, стоит проверить, а вдруг Ваш ответ просто записан в другой форме. Ну типа $\dfrac34$ или $0,75$. Может быть в задаче предполагалось другое соотношение, либо в ответе опечатка.

Ну и напоследок. Ваше решение с биссектрисами оказалось верным. Решение с подобными треугольниками приведёт к тому же ответу. Вопрос вкуса — какое выбрать

[Sveta_68]

Совсем забыла про иррациональность в знаменателе. Сейчас исправлюсь.
И всё же как работать с подобием, подскажите идею. Мне интересно.

[gris]

Да там идей куча. Можно использовать свойство бисссектрисы по делению противоположной стороны, или то, что углы ровно по 30 градусов, теорему синусов использовать. В общем, глаза разбегаются.
Самое лобовое — не побояться и обозначить меньший катет через $a$, да и выразить через него злополучные отрезки с помощью теоремы синусов. Синусы и косинусы фигурирующих углов известны.