29 областная открытая межвузовская олимпиада по математике.

[bot]

ewert в сообщении #497505 писал(а):

Ну и по поводу 2

Мой прокол. Несложно построить $\frac{n(n+1)}{2}$ диагоналей и в чётном случае доказать, что это максимум. Для нечётного случая это будет только оценкой снизу - начиная c $n=5$ строится на одну больше и вряд ли это будет максимумом при всяком нечётном $n$.

[xmaister]

(2nnosipov)

bot в сообщении #497371 писал(а):

4'. Существует ли функция , удовлетворяющая тождеству ?

Моё решение отличается от Вашего или это одно и то же?
$g=f\circ f$- инъективно $\Rightarrow f$- инъективно$\Rightarrow$
$f$- монотонна $\Rightarrow$ ($f$- возрастающая) $\wedge$ ($f$- убывающая). Противоречие.

[ewert]

(Оффтоп)

xmaister в сообщении #497691 писал(а):

$f$- инъективно $\Rightarrow$ $f$- монотонна

Из инъективности не следует монотонность. И уж тем более никак не следует, если аргументы целочисленны.

[nnosipov]

(Оффтоп)

xmaister, необходимо использовать то, что $f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$.

[zhekas]

4'
Пусть $f(0)=n$, тогда $f(n)=f(f(0))=1$
Пусть $f(1)=m$, тогда $f(m)=f(f(1))=0$

$1-n^3=f(f(n))=f(1)=m$
$1-m^3=f(f(m))=f(0)=n$

получили систему

$1-n^3=m$
$1-m^3=n$

она не имеет целочисленных решений

[ewert]

zhekas в сообщении #497746 писал(а):

получили систему

$1-n^3=m$
$1-m^3=n$

она не имеет целочисленных решений

Имеет:

nnosipov в сообщении #497454 писал(а):

Подставляя $x=0$ и $x=1$, получим систему уравнений, из которой найдём: либо $f(0)=0$ и $f(1)=1$, либо $f(0)=1$ и $f(1)=0$.

[MrDindows]

mihiv в сообщении #497407 писал(а):

После замен $x=\cos t,x=\sin t$ получим

$$I=\dfrac 12\int \limits_0^{\dfrac {\pi }2}(\sin tf(\cos t)+\cos tf(\sin t))dt\leq \dfrac {\pi }4$$

А не могли бы объяснить решение этой задачи поподробнее, пожалуйста. В частности, откуда перед интегралом одна вторая, почему интеграл до пи/2 ,и почему вместо $f(x)\cdot dx$ мы имеем $(\sin tf(\cos t)+\cos tf(\sin t))dt$, А то я чё-то не врубился=)

[mihiv]

To MrDindows
Делаем замену $x=\sin t$,при изменении $x$ от 0 до 1,$t$ изменяется от 0 до$\dfrac {\pi }2$,в результате получим

$$I=\int \limits _0^{\dfrac {\pi }2}\cos tf(\sin t)dt$$

,если же в сделать замену $x=\cos t$,то аналогично получим

$$I=\int \limits _0^{\dfrac {\pi}2}\sin tf(\cos t)dt.$$

Интеграл равен полусумме полученных выражений

[MrDindows]

Понял, спасибо.

[xmaister]

(Оффтоп)

nnosipov,ewert,спасибо, я понял ошибку . А из того, что $g=h\circ f$- монотонна следует, что $f$ или $h$ монотонна? Или это верно только для отображения $\mathbb{Z}$ в $\mathbb{Z}$? У меня доказать не получилось для произвольных $h$ и $f$...