Дифференциальные уравнения первого порядка

[keep-it-real]

требуется найти общий интеграл
$e^{3y}y'=\frac{1-e^{3y}}{2x}$
насколько я понимаю, это уравнение с разделяющимися переменными, т.е.
$dy=\frac{1-e^{3y}}{2xe^{3y}}dx$ верно?

[ewert]

Ну если Вы всё знаете, так чего спрашиваете? Разделяйте и интегрируйте.

[keep-it-real]

ewert, если б была уверена, не спрашивала бы)

[keep-it-real]

а как их разделить то?

[arseniiv]

keep-it-real в сообщении #497674 писал(а):

т.е.
$dy=\frac{1-e^{3y}}{2xe^{3y}}dx$ верно?

А зачем вы всё вправо унесли? Попробуйте все множители, зависящие от $y$, теперь влево утащить.

[phys]

keep-it-real в сообщении #497733 писал(а):

а как их разделить то?

Привести к виду $f(x)dx = g(y)dy$. В вашем случае все что связано с $x$ это его дифференциал и $2x$, соответственно все что кроме оставляем с другой стороны и интегрируем.

[keep-it-real]

phys в сообщении #497750 писал(а):

keep-it-real в сообщении #497733 писал(а):

а как их разделить то?

Привести к виду $f(x)dx = g(y)dy$. В вашем случае все что связано с $x$ это дифференциал и $2x$, соответственно все что кроме оставляем с другой стороны и интегрируем.

т.е. так что ли разделены?
$\frac{dy}{\frac{1-e^{3y}}{e^{3y}}}=\frac{dx}{2x}$

[phys]

keep-it-real в сообщении #497753 писал(а):

т.е. так что ли разделены?
$\frac{dy}{\frac{1-e^{3y}}{e^{3y}}}=\frac{dx}{2x}$

Когда у вас многоступенчатые формулы лушче делать так:

$$\frac{dy}{\frac{1-e^{3y}}{e^{3y}}}=\frac{dx}{2x}$$

Т.е. заключать формулу в двойные доллары.

Да, именно так, хотя лучше (выглядит красивее)

$$\frac{e^{3y}dy}{1-e^{3y}}}=\frac{dx}{2x}$$

[keep-it-real]

получится, что общий интеграл равен $-\frac{\ln(e^{3y}-1)}{3}-\frac{\ln(x)}{2}=C$

-- 31.10.2011, 17:49 --

еще один вопрос: нахождение решения задачи Коши:
$y'+2xy=y^2{e^x}^{2}, y(0)=e^2$
к какому типу относится уравнение? и как его решать? т.е. мне кажется, что это линейное уравнение, и решать надо методом Бернулли

[phys]

А вы попоробуйте по Бернулли замените как положено, и посмотрите что выйдет (: У меня сейчас бумажно-писчих инструментов нет под рукой...

[keep-it-real]

получается:
$\\ y=uv,y'=u'v+uv' \\ u'v+uv'+2xuv=(uv)^2e^{x^2}\\ u'v+u(v'+2xv)=(uv)^2e^{x^2}$
что делать дальше?

[arseniiv]

Сделайте, чтобы $v' + 2xv$ обнулилось. (Между прочим, про то, что нужно делать именно это, всегда рассказывают.)

[keep-it-real]

получается у нас будет 2 уравнения?
$\\ v'+2xv=0\\ u'v=u^2v^2e^{x^2}$

[arseniiv]

Лучше сначала решить первое, а о втором не думать пока.

[phys]

А нас учили вобще этой дрянью не пользоваться, а уравнения Бернулли решать заменой $z = y^{1-\alpha}$, (чего и вам советую), где $\alpha$ - показатель степени, в вашем случае 2.