Задача о смене шин

[linpy]

Остался последний вопрос как доказать что смену шин надо произвести на середине пути. При построении графика , коэфф. изнашивания -путь видно что это ромб.

По свойствам ромба видно что $S_{max}=2S_{cm}$
Где S_cm это путь до смены. Есть ли менее графическое док-во

[svv]

linpy, мне кажется, Вам хотелось бы иметь подобие какой-то теории по этой теме. Предлагаю Вам такую теорию. Относитесь к ней с долей юмора, хотя она ответит на все Ваши вопросы.

Состояние каждой шины описывается величиной $\Delta$ -- износом.
Износ шины является непрерывной строго возрастающей функцией её общего пробега $S$ (длины пройденного пути от точки установки).
Износ в некоторой точке $A$ будем обозначать $\Delta_A=\Delta(S_A)$.
В начале пробега шины (в точке её установки) износ равен $0$.
Когда износ достигает $1$, шина больше не может использоваться.

Определение. Износ $\Delta_{AB}$ на участке пути $AB$ -- это разность значений износа в конце участка и в начале участка: $\Delta_{AB}=\Delta_B-\Delta_A$.
Следствие. Если участок $AC$ разбивается на два участка $AB$ и $BC$, то износ на участке $AC$ равен сумме износа на участке $AB$ и износа на участке $BC$:
$\Delta_{AC}=\Delta_C-\Delta_A=(\Delta_B-\Delta_A)+(\Delta_C-\Delta_B)=\Delta_{AB}+\Delta_{BC}$

Определение. Скорость износа шины $k=\frac {d\Delta}{dS}$
Следствие. Скорость износа -- неотрицательная величина.

Опыт показывает, что:
1) скорость износа шины зависит от ее места установки (переднее или заднее колесо);
2) для данного места установки скорость износа есть положительная константа.
Следствие. Если на участке пути $AB$ место установки шины постоянно, то $\Delta_{AB}=k S_{AB}$, где $k=\operatorname{const}$ -- скорость износа, $S_{AB}=S_B-S_A$ -- длина участка $AB$.

Решаем задачу.
Найдем сначала $k_{\text{п}}$ -- скорость износа передней шины и $k_{\text{з}}$ -- скорость износа задней шины.
Пусть путь $AB$ -- пробег (без перестановок) передней шины от установки до износа, тогда $1=\Delta_{AB}=k_{\text{п}} S_{AB}=k_{\text{п}}\cdot 36000$, откуда $k_{\text{п}}=1/36000$. Аналогично $k_{\text{з}}=1/24000$.

Пусть теперь точка $A$ = начало пути = место установки всех шин, точка $B$ -- место перестановки передних и задних шин, точка $C$ -- некоторая точка, причем $0=S_A<S_B<S_C$.
Рассмотрим шину $\alpha$ (она передняя на $AB$ и задняя на $BC$) и шину $\beta$ (она задняя на $AB$ и передняя на $BC$). Их износы в точке $C$ равны:

$$\Delta_C^{\alpha}=k_{\text{п}} S_{AB} + k_{\text{з}} S_{BC} \eqno (1)$$

$$\Delta_C^{\beta}=k_{\text{з}} S_{AB} + k_{\text{п}} S_{BC} \eqno (2)$$

Складывая (1) и (2), получаем:

$$\Delta_C^{\alpha}+\Delta_C^{\beta}=(k_{\text{п}}+k_{\text{з}}) (S_{AB}+S_{BC})=(k_{\text{п}}+k_{\text{з}}) S_{AC}$$

Если теперь считать, что $C$ -- точка, в которой износ одной из шин впервые достиг $1$ (дальше ехать нельзя), то отсюда видим, что пройденный путь тем больше, чем больше величина $\Delta_C^{\alpha}+\Delta_C^{\beta}$.
Однако $\Delta_C^{\alpha}+\Delta_C^{\beta}\leqslant 2$, причем максимальное значение $2$ достигается только если $\Delta_C^{\alpha}=1$, $\Delta_C^{\beta}=1$ (условие максимального пробега -- полный износ обеих шин). Значит, при выполнении этого условия максимальный пробег равен $S_{AC}=2/(k_{\text{з}}+k_{\text{п}})=28800$.

Подставим $\Delta_C^{\alpha}=1$, $\Delta_C^{\beta}=1$ в (1) и (2) соответственно и найдем разность (1) и (2). Получим:

$$0=(k_{\text{п}}-k_{\text{з}})S_{AB}+(k_{\text{з}}-k_{\text{п}})S_{BC}=(k_{\text{з}}-k_{\text{п}})(S_{BC}-S_{AB})$$

Так как $k_{\text{з}}\neq k_{\text{п}}$, получаем $S_{AB}=S_{BC}$.

[linpy]

Большое спасибо за эту теорию! Если с максимальным путем ход мысли понял, то как найти точку смены было непонятно и до Вашего объяснения мне было непонятно до конца как обосновать тот факт что путь должен быть равным до и после. Теперь это разъяснилось

[svv]

Рад, что общение было полезно.