Нахождение стационарных точек

[keep-it-real]

Исследую функцию на экстремумы:
$f=(x^2+y^2)e^{-(x^2+y^2)}\\ \begin {cases} f_{x}=2xe^{-x^2-y^2}-2(x^2+y^2)xe^{-x^2-y^2}\\ f_{y}=2ye^{-x^2-y^2}-2(x^2+y^2)ye^{-x^2-y^2} \end {cases} $
далее надо найти стационарные точки
корни у меня получились такие: $x_1=0,y_1=0,x_2=1,x_3=-1,y_2=\sqrt{1-y^2},y_3=-\sqrt{1-y^2}$
Верно ли нашла корни, и как отсюда найти стационарные точки, явно есть точка $A_1=(0,0)$

[gris]

Там, конечно, минус в экспоненте перед $y^2$
Поверхность удивительно симметричная и легко представимая, особенно, если перейти к полярным координатам. Начало координат особая точка, да, а вот потом чего-то непонятное написано. Там же некая окружность вырисовывается.

[keep-it-real]

Цитата:

Там, конечно, минус в экспоненте перед $y^2$

это конкретно про что?

Цитата:

Там же некая окружность вырисовывается.

окружность это $x^2+y^2=1$?

[gris]

Посмотрите внимательно на свою первую формулу.
Вы уж там или скобки поставьте или минус нарисуйте
Да, именно на этой окружности обе производные обращаются в ноль. И функция на ней постоянна. То есть это будут точки нестрогого максимума. Ну а с началом координат разобраться можно и без вторых производных. Вне этой точки функция строго положительна.

[keep-it-real]

т.е. будет точка минимума=0 в точке $A_1$?

[gris]

Да, но это надо оформить в соответствии с вашими правилами. Тут, конечно, напрашивается переход к полярным координатам, но может быть, требуется показать умение обращаться с частными производными.

[ewert]

keep-it-real в сообщении #497473 писал(а):

корни у меня получились такие: $x_1=0,y_1=0,x_2=1,x_3=-1,y_2=\sqrt{1-y^2},y_3=-\sqrt{1-y^2}$
Верно ли нашла корни,

Неверно, разумеется; точнее -- бессмысленно. Помимо того, что переход к полярным координатам и впрямь напрашивается; даже если действовать кондово, по-Вашему -- помилуйте: ну какой смысл может вообще иметь запись $y_2=\sqrt{1-y^2}$?...

[keep-it-real]

gris в сообщении #497488 писал(а):

Да, но это надо оформить в соответствии с вашими правилами. Тут, конечно, напрашивается переход к полярным координатам, но может быть, требуется показать умение обращаться с частными производными.

а как это оформить?
вы правы, надо через частные производные было решить

[V.V.]

Как искать стационарные точки?
Надо решить систему $\left\{\begin{array}{l} f_x=0,\\ f_y=0.\end{array}\right.$

Получаем, что или $x=0$, $y=0$, или $x^2+y^2=1$. Первое решение - стационарная точка, второе - предельный цикл.

[keep-it-real]

V.V. в сообщении #497510 писал(а):

Как искать стационарные точки?
Надо решить систему $\left\{\begin{array}{l} f_x=0,\\ f_y=0.\end{array}\right.$

Получаем, что или $x=0$, $y=0$, или $x^2+y^2=1$. Первое решение - стационарная точка, второе - предельный цикл.

а что касаемо нестрогого максимума в этой окружности?

[gris]

Вы частные производные правильно нашли
$\begin {cases} f_{x}=2x(1-x^2-y^2)e^{-x^2-y^2}=0\\ f_{y}=2y(1-x^2-y^2)e^{-x^2-y^2}=0 \end {cases}$
далее Сокращаем на неравную нулю экспоненту и совершенно по-школьному решаем систему. Получаем точку $(0,0)$ и окружность $x^2+y^2=1$.
Вторые производные находить дело хлопотное. В начале координат они и не нужны из-за положительности функции в проколотой окрестности, а на окружности не сработают. Там надо показать, что функция имеет нестрогий максимум. И либо обнулить одну из переменных с анализом функции одной переменной и словами о фигуре вращения, либо перейти к полярным координатам и проанализировать точно такую же функцию от радиуса. То есть $r^2\cdot e^{-r^2}$.

[ewert]

keep-it-real в сообщении #497504 писал(а):

а как это оформить?
вы правы, надо через частные производные было решить

Вот это-то и плохо. Вы постоянно озабочены "чем это какгбэ решить", чтоб Марьванна не возмутилась. Вместо того, чтоб призадуматься: а в чём, собссно, задачка и состоит-то?...