Отображение плоскости Немыцкого в прямую

[xmaister]

Расммотрим отображение: $f:L\to\mathbb{R}$, $f(x,y)=x$. В книге написано, что $f$ открыто но не замкнуто. То, что оно открыто, это понятно. Берём произвольный элемент базы $U$. $f(U)$ будет открыто $\forall U\in\mathcal{B}$. Теперь рассмотрим произвольную точку $x\in\mathbb{R}$. $f^{-1}(\{x\})=\{(x,y)|y\ge 0\}$. Для каждой $(x,y)$ рассмотрим окрестность $U_{(x,y)}$ радиуса $\frac1n$. Тогда $U=\bigcup\limits_{(x,y)\in f^{-1}(\{x\})}U_{(x,y)}$ будет содержать $f^{-1}(\{x\})$ и прообраз открестности точки $x$ $(x-\frac1{5n},x+\frac1{5n})$ будет содержаться в $U$. Непонятно, почему оно не замкнуто?

-- 30.10.2011, 16:24 --

Всё разобрался. Рассматриваю окрестность $U_{(x,0)}$ точки $(x,0)$ радиуса 1. Если $(x,y)\in U_{(x,0)}$, беру окрестность этой точки- множество точек, лежащих внутри круга радиуса $y$. Если $(x,y)\not\in U_{(x,0)}$, то рассматриваю окрестности этой точки, как множество точек, лежащих внутри круга радиуса $\frac12$. Тогда $\bigcup\limits_{(x,y)\in f^{-1}(\{x\})}U_{(x,y)}$ содержит $f^{-1}(\{x\})$, но не содержит ни один из прообразов всевозможных окрестностей точки $x$. Извините за беспокойство

[Padawan]

xmaister в сообщении #497416 писал(а):

Всё разобрался. Рассматриваю окрестность $U_{(x,0)}$ точки $(x,0)$ радиуса 1. Если $(x,y)\in U_{(x,0)}$, беру окрестность этой точки- множество точек, лежащих внутри круга радиуса $y$. Если $(x,y)\not\in U_{(x,0)}$, то рассматриваю окрестности этой точки, как множество точек, лежащих внутри круга радиуса $\frac12$. Тогда $\bigcup\limits_{(x,y)\in f^{-1}(\{x\})}U_{(x,y)}$ содержит $f^{-1}(\{x\})$, но не содержит ни один из прообразов всевозможных окрестностей точки $x$. Извините за беспокойство

Ничего не понял. Всё гораздо проще. Возьмём интервал $(0,1)\subset \mathbb R$. $f((0,1))=(0,1)$. В плосксти Немыцкого $(0,1)$ -- замкнутое множество, а в $\mathbb R$ (c обычной топологией)-- нет.

[xmaister]

Padawan
Я пользовался критерием замкнутости отображения. Взял произвольную точку $x\in\mathbb{R}$, нашёл её прообраз, рассмотрел некоторое открытое множество $U$, которое содержит $f^{-1}(\{x\})$. Далее рассматриваю произвольную окрестность точки $x$. Нахожу её прообраз и получаю, что не существует окрестности, прообраз которой вкладывается в $U$. Разве я где-то прокололся?

[Padawan]

Зачем пользоваться критерием, когда проще воспользоваться определением?