dasalam писал(а):
Спасибо, но тогда будет и
![$u^2_m=0$ $u^2_m=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/0/7e04e61f8e0125403875ef749f33e1cf82.png)
Давайте проверим.
Для определенности добавим еще один индекс в коэффициенты
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
:
![$a^n_{m+1} = \frac{(u^{n}_{m})^k+(u^{n}_{m+1})^k}2$ $a^n_{m+1} = \frac{(u^{n}_{m})^k+(u^{n}_{m+1})^k}2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/8/ce88beeede85280ab7200ae9391fcb5c82.png)
, что эквивалентно
![$a^n_m = \frac{(u^n_{m-1})^k+(u^n_m)^k}2$ $a^n_m = \frac{(u^n_{m-1})^k+(u^n_m)^k}2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/8/2680376d537104d8cddc54996f2176c082.png)
.
Ваше разностное уравнение я переписал так:
![$\frac{u^{n+1}_m-u^n_m}\tau=\frac 1 h \left[a^n_{m+1} \frac{u^{n+1}_{m+1}-u^{n+1}_m} h-a^n_{m} \frac{u^{n+1}_m-u^{n+1}_{m-1}} h\right]$ $\frac{u^{n+1}_m-u^n_m}\tau=\frac 1 h \left[a^n_{m+1} \frac{u^{n+1}_{m+1}-u^{n+1}_m} h-a^n_{m} \frac{u^{n+1}_m-u^{n+1}_{m-1}} h\right]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/b/33b929532d3b6c639acc9c3de052205482.png)
Здесь еще два изменения в индексах коэффициентов
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
. Cогласитесь ли Вы с обоими?
1. Те индексы, что были -- пространственные, там должна быть буква
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
, а не
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
.
2. Не
![$a_{m+1}$ $a_{m+1}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/8/5586546c091539b9e910dd05d84a434682.png)
и
![$a_{m-1}$ $a_{m-1}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/1/7b1506b962b8f7f5b56032b9b49eecca82.png)
, а
![$a_{m+1}$ $a_{m+1}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/8/5586546c091539b9e910dd05d84a434682.png)
и
![$a_{m}$ $a_{m}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/2/c7299e535edd9ca6fdbe11762830e3a182.png)
, чтобы у них было единое определение, приведенное выше. Оба слагаемых в правой части должны строиться по одному принципу, они отличаются только сдвигом на
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
по
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
.
Дальше, в любой схеме -- явной или неявной -- должно быть
![$u^n_0=Ct^{1/k}=C(n\tau)^{1/k}$ $u^n_0=Ct^{1/k}=C(n\tau)^{1/k}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/9/049642422e61505debf54dbed61cbd0b82.png)
. Вы закладываете это в алгоритм? Если нет, тогда нуль будет тождественный, везде и всюду, "ненулю" просто неоткуда взяться.
Тезис. При
![$n=2$ $n=2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/6/da60d8ce586cf444dfc2735588ee6cab82.png)
величина
![$u^n_m$ $u^n_m$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/7/2/3722ca38a9d4ec388dd08f4f88870f6882.png)
отлична от нуля хотя бы при одном
![$m>0$ $m>0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/d/96d12c1606f398a8ecec0c413d6200f582.png)
.
Доказательство. Рассмотрим уравнение при
![$n=1$ $n=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/2/3d2be9e2108301e9097fa4bc5104664182.png)
,
![$m=1$ $m=1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/9/e29e762506bcf0ecec79815ae38fbb5e82.png)
:
![$\frac{u^2_1-u^1_1}\tau=\frac 1 h \left[a^1_2} \frac{u^2_2-u^2_1} h-a^1_1 \frac{u^2_1-u^2_0} h\right]$ $\frac{u^2_1-u^1_1}\tau=\frac 1 h \left[a^1_2} \frac{u^2_2-u^2_1} h-a^1_1 \frac{u^2_1-u^2_0} h\right]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/b/edbebd2b21909829dc97362030449f8a82.png)
Для
![$n=1$ $n=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/2/3d2be9e2108301e9097fa4bc5104664182.png)
только
![$u^1_0$ $u^1_0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/1/d013294df36f1dc4eac1d25f7cfc4ec282.png)
отлично от нуля. Допустим, для
![$n=2$ $n=2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/6/da60d8ce586cf444dfc2735588ee6cab82.png)
также только
![$u^2_0$ $u^2_0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/2/d7204483e22a891f2b0bdf95dfa6a79c82.png)
отлично от нуля. Тогда
![$0=\frac 1 {h^2} a^1_1 u^2_0 \right]$ $0=\frac 1 {h^2} a^1_1 u^2_0 \right]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/1/af153f374b83e035df6e7d44c68e8d4182.png)
Однако
![$u^2_0$ $u^2_0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/2/d7204483e22a891f2b0bdf95dfa6a79c82.png)
и
![$a^1_1=\frac{(u^1_0)^k+(u^1_1)^k}2=\frac{(u^1_0)^k} 2$ $a^1_1=\frac{(u^1_0)^k+(u^1_1)^k}2=\frac{(u^1_0)^k} 2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/3/973001b6a79c52ff656b1ce84ca8c18782.png)
оба отличны от нуля.
Значит, в случае, когда равны нулю все
![$u^2_m$ $u^2_m$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/4/4/744d5014e38df2d173041de31f1e4eda82.png)
, кроме
![$u^2_0$ $u^2_0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/2/d7204483e22a891f2b0bdf95dfa6a79c82.png)
, нарушается разностное уравнение.