7-9 класс, ёмкость с водой.

[Dimoniada]

Может конечно такая задача есть, но хотелось бы узнать, корректно ли решение.
Задача: "Из полностью наполненной водой кастрюли (цилиндрической формы) отлить часть воды так, чтобы в кастрюле осталось 2/3 воды (с хорошей точностью). Ничем, кроме кастрюли пользоваться нельзя."

Собственно, решение

(Оффтоп)

Начинаем "плавно раскручивать" воду в кастрюле, часть воды естественно выливается. Поверхность воды внутри кастрюли - параболоид вращения. Раскручиваем до тех пор, пока вершина параболоида не коснётся донышка в центре. Тогда и останавливаемся.
Может эта задача больше физическая, а не математическая?

[spaits]

Отлить, пока не покажется край донышка.

[spaits]

spaits в сообщении #496930 писал(а):

Отлить, пока не покажется край донышка.

Так сольем половину.

[svv]

Dimoniada, способ гениальный. Только, по-моему, так останется не 2/3, а 1/2. И тогда проще способ spaits.

Вот не повезло Вам. Давал бы Ваш способ какое-то другое число -- и у него просто не было бы конкурентов в его "весовой категории". А так -- банальная половина.

[Sonic86]

Dimoniada в сообщении #496926 писал(а):

Ничем, кроме кастрюли пользоваться нельзя.

Dimoniada в сообщении #496926 писал(а):

Начинаем "плавно раскручивать" воду в кастрюле, часть воды естественно выливается. Поверхность воды внутри кастрюли - параболоид вращения.

Очень красиво, но тут Вы кроме кастрюли используете закон всемирного тяготения $F=G \frac{m_1m_2}{r^2}$. Эдак мы можем зайти в некоторое пространство с $F=G \frac{m_1m_2}{r^{\alpha}}$ и там уже отлить другую долю воды.

[Руст]

svv в сообщении #496990 писал(а):

Dimoniada, способ гениальный. Только, по-моему, так останется не 2/3, а 1/2..

Нет, останется $\frac 34$. Способ spits для круглого 1/2, а для цилиндра с основанием равнобедренный треугольник 2/3.

[Dimoniada]

svv в сообщении #496990 писал(а):

...так останется не 2/3, а 1/2.

Просчиталась как всегда. Стала экспериментировать с усечёнными конусами (типа миски), что бы таким способом целые доли можно было отливать, но тогда отношения радиусов "донышек" некрасивые получаются. Если и можно что-то придумать, то так, для физиков задачу, а не математиков как Sonic86 и говорит.

[svv]

Руст писал(а):

Нет, останется $\frac 3 4$.

Руст, давайте сначала по способу, который предложила Dimoniada.
Объем цилиндрической кастрюли равен $\pi R^2 H$. Рассмотрим конус, основание которого совпадает с "крышкой", а вершина -- с центром дна. Его объем равен $(1/3) \pi R^2 H$, то есть $1/3$ объема кастрюли. Этот конус лежит внутри параболоида, только касаясь его вершиной (внизу) и окружностью основания (вверху). Еще и зазор приличный остается. Следовательно, объем параболоида уж точно не превосходит $2/3$ кастрюли, но никак не $3/4$ кастрюли, согласны?

[Руст]

Прощу прощения, выливается 3/4, остается 1/4

[svv]

Цилиндрические координаты.

Кастрюля.
Дно: $z=0$
Крышка: $z=H$
Стенки: $\rho=R$
Ось вращения: $\rho=0$
Объем: $\pi R^2 H$

Параболоид вращения: $z(\rho)=\frac H {R^2} \rho^2$
Он пересекается с дном в одной точке $\rho=0, z=0$, а с крышкой -- по окружности $\rho=R, z=H$. Что и требуется.

Объем, ограниченный параболоидом, дном и стенками:
$V=\int\limits_0^{2\pi} d\varphi \int\limits_0^R \rho d \rho \int\limits_0^{z(\rho)} dz=2\pi \int\limits_0^R z(\rho) \rho d \rho = 2\pi \frac H {R^2} \int\limits_0^R \rho^3 d \rho=2\pi \frac H {R^2}\frac {R^4} 4=\frac 1 2 \pi R^2 H$