Нетривиальный диффур первого порядка

[samuil]

$2(x+y^4)y'-y=0$

$2(x+y^4)dy=ydx$ (*)

Тщетные попытки:

(Оффтоп)

Я хотел его сделать однородным нулевой степени, относительно $x$ и $y$:

Поэтому сделал замену $y^4=t$

Тогда $y=\sqrt[4]{t}$ ; a $dy=t^{-3/4}dt$

Тогда уравнение (*) переписывается следующим образом:

$2(x+t)t^{-3/4}dt=t^{1/4}dx$

Или в более красивой форме

$2(x+t)dt=tdx$

Казалось бы, что получился однородный диффур нулевой степени, но не так все просто дальше!

После замены $t=zx$ уравнение приобрело вид:

$2(x+zx)(zdx+xdz)=zxdx$

$2xzdx+2zx^2dx+2x^2(1+z)dz=zxdx$

$xzdx+2zx^2dx+2x^2(1+z)dz=0$

Делим на $x$ обе части и....

$z(1+2z)dx=-2x(1+z)dz$

Если разделить переменные и проинтегрировать, то решение этого диффура не совпадет с решение исходного (проверил с помощью $wolframalpha$((( )

Есть ли более простые способы решения?

[SpBTimes]

Искать решение в виде $x(y)$. Уравнение получается просто линейным относительно х

[samuil]

SpBTimes в сообщении #496960 писал(а):

Искать решение в виде $x(y)$. Уравнение получается просто линейным относительно х

Спасибо! А как его искать? Изначально?

[SpBTimes]

Из вашего равенства:
$\frac{dx}{dy} = \frac{2x}{y} + y^3$
$x'_y = \frac{2x}{y} + y^3$
Конечно проверить всякие деления на ноль

[samuil]

SpBTimes в сообщении #496974 писал(а):

Из вашего равенства:
$\frac{dx}{dy} = \frac{2x}{y} + y^3$
$x'_y = \frac{2x}{y} + y^3$
Конечно проверить всякие деления на ноль

Ок, действительно, спасибо, дальше уже понятно!!!