Можно ли лопиталить в случае ∞-∞ ?

[samuil]

Допустим возникла неопределенность типа $\Big[\infty-\infty\Big]$ в числителе и в знаменателе

1) В частном случае:

Допустим вот Такой пример

$$\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{2^x-3^x}{3^x-4^x}=\Big[\dfrac{\infty-\infty}{\infty-\infty}\Big]=\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{(2^x-3^x)'}{(3^x-4^x)'}$$

Законен ли последний переход?

2) В общем случае?

Допустим заданы непрерывно дифференцируемые функции $f(x)$;$g(x)$;$y(x)$;$z(x)$ на $x\in R$

$z(x)-y(x)\ne 0 \forall x\in R$

$\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\lim\limits_{x\to \infty}g(x)=\lim\limits_{x\to \infty}y(x)=\lim\limits_{x\to \infty}z(x)=+\infty$

$$\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{f(x)-g(x)}{y(x)-z(x)}=\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{f'(x)-g'(x)}{y'(x)-z'(x)}$$

Законен ли последний переход? Всегда ли он будет законен?!

[ИСН]

Разность бесконечностей сама по себе может быть либо бесконечностью, либо нет; по-моему, Вы знаете, что делать в каждом из этих двух случаев.

[samuil]

ИСН в сообщении #496621 писал(а):

Разность бесконечностей сама по себе может быть либо бесконечностью, либо нет; по-моему, Вы знаете, что делать в каждом из этих двух случаев.

Спасибо! Да, знаю. А как объяснить, что $\lim\limits_{x\to \infty}(2^x-3^x)=-\infty$?

Ведь это интуитивно понятно, но как это доказать?!

Можно так?

$$\lim\limits_{x\to \infty}(2^x-3^x)=\lim\limits_{x\to \infty}3^x\Big(\big(\frac{2}3\big)^x-1\Big)= \Big(\lim\limits_{x\to \infty}3^x\Big)\cdot \Big(\lim\limits_{x\to \infty}\big(\frac{2}3\big)^x-1)\Big)=+\infty\cdot (-1)=-\infty$$

[ИСН]

Да хоть так.

[Sonic86]

Вообще говоря, можно взять экспоненту от выражения в пределе - тогда неопределенность $\infty - \infty$ сведется к $\frac{\infty}{\infty}$ - вот ее и лопитальте

[samuil]

Ок, спасибо! Про экспоненту - не понял. Ведь $e^{a/b}\ne \frac{e^a}{e^b}$

[Sonic86]

В смысле так:
$\lim\limits_{x \to \infty} (f(x)-g(x))=\ln \lim\limits_{x \to \infty} e^{f(x)-g(x)} =\ln \lim\limits_{x \to \infty} \frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}}$

[samuil]

Sonic86 в сообщении #496911 писал(а):

В смысле так:
$\lim\limits_{x \to \infty} (f(x)-g(x))=\ln \lim\limits_{x \to \infty} e^{f(x)-g(x)} =\ln \lim\limits_{x \to \infty} \frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}}$

А, понял, спасибо!!!