Сумма последовательности

[BanmaN]

Здравствуйте, подскажите пожалуйста, есть ли какая-нибудь формула для общего члена последовательности $S_{n}$, где
$S_{n} = S_{n-1}+y_{n}$, $y_{n} = y_{n-1}^q$, $y_{1}=k$ для некоторого k.

Спасибо.

[svv]

Конечно! Если $y_1=1$, $y_n=y_{n-1}^q$, то
$y_2=y_1^q=1^q=1$,
$y_3=y_2^q=1^q=1$,
и т.д.
Где-то описка в условии?

[BanmaN]

Да, конечно) $y_{1} = k$ для некоторого $k$.

[arseniiv]

Тогда
$\begin{gathered*} y_1 = k, \\ y_2 = y_1^q = k^q, \\ y_3 = y_2^q = k^{q^2}, \\ \cdots \\ y_n = y_{n-1}^q = k^{q^{n-1}}. \end{gathered*}$
Если предположить, что $S_0 = 0$ (у вас не указано), то $S_n = k + k^q + k^{q^2} + \ldots + k^{q^{n-1}}$. Не знаю пока, стоит ли и как это свернуть.