Многомерные расширения ТФКП

[Kallikanzarid]

Time в сообщении #496463 писал(а):

Понятие числа - основное понятие математики и как всякое такое понятие не поддается формальному определению.

Вы в каком веке живете? Ну ок, допустим вы на этот вопрос можете только развести руками, но тогда на каком основании вы причисляете элементы тех или иных объектов к числам? Революционное чутье? Вот элементы поля $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ являются числами? А элементы поля $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$? А дуальные числа - это числа?

Ну что смеяться-то? Вам стоит читать учебники по алгебре, топологии и теории чисел - много, много книжек, а вы пытаетесь с инструментами XIX века переплюнуть XXI-й, да еще и надменно относитесь ко всем, кто указывает вам на это.

-- Чт окт 27, 2011 19:48:46 --

Time в сообщении #496463 писал(а):

Имеются ввиду дебаты по поводу того, считать или нет комплексные числа - числами.

В отсутствии определения числа эти дебаты столь же содержательны, сколь и дебаты о танцах ангелов на конце булавки.

[hamilton]

Time в сообщении #496463 писал(а):

Я четко обозначил условия, при соблюдении которых, статьи принимаются к печати нашим журналом. a) Соответствие тематике журнала. б) Наличие положительной рецензии (естественно, не от абстрактного "академика", а из списка рецезентов, с которыми мы сотрудничаем). Присылайте статью "Вашего" Петрика, которая удовлетворила бы этим двум критериям, мы ее спокойно напечатаем.

Вы прекрасно знаете, кто такой Петрик, и гипотетически уже согласились напечатать его статьи по тематике, в которой он вообще не смыслит, точно так же как и в чистой воде - несмотря на протесты сотен и тысяч ученых...

Что уж Вам до мнения одного специалиста, пусть даже и лучшего в мире в своей области, насчет Людковского...
В списке рецензентов нет - прощай, наука. На мое мнение - плевать с высокой башни.

Было желание поднять уровень Вашего журнала до хорошего международного уровня, но чувствую это бесполезно...

[hamilton]

Time в сообщении #496463 писал(а):

Имеются ввиду дебаты по поводу того, считать или нет комплексные числа - числами. Споры были не менее жаркие, чем сейчас по поводу кватернионов. Отсутствие формального определения не помешало решить проблему в пользу комплексных чисел и сейчас только большой оригинал может попытаться заявить, что они не являются числами.

То есть Вы сейчас не будете утверждать, что комплексные числа не являются числами? В таком случае с пониманием проблем быть не может...
Качественные различия между кватернионами и комплексными числами гораздо слабее, чем между комплексными и вещественными числами.
Чтобы перейти к мнимостям, нужно было преодолеть действительно колоссальный психологический барьер.
Комплексные числа от кватернионов качественно отличаются только некоммутативностью, которая нашему пространству естественно присуща.
Если же физик будет утверждать, что наше пространство коммутативно, то его утверждения ложны.
А наука, основанная на ложных утверждениях, называется лженаукой...

Таким образом, современный физик не может утверждать, что некоммутативность его не интересует при построении глобальных моделей реального мира.
Или пусть так и говорит открыто, что в игрушки играет, а не строит глобальную физическую науку.

[hamilton]

Time в сообщении #307617 писал(а):

В том то и беда, что кватернионы вот уже почти 170 лет считаются самыми интересными и важными гиперкомплексными числами. Тогда как это не так. Да, они хороши на уровне групп изометрических преобразований, которые у них точно такие же как у четырехмерного евклидова пространства и именно поэтому они также могут использоваться при моделировании свойств трехмерного евклидова пространства и даже пространства Минковского. Но у кватернионов нет главного из того, что делает замечательными комплексную и действительную алгебры. У них нет интересного множества аналитических функций. Максимум, что дают аналитические функции на кватернионах, это линейные и дробнолинейные функции. Ни тебе логарифмов, ни степенных функций, ни функции Жуковского..

Чт апр 08, 2010 13:07:49

Вот еще свидетельство, как один из участников форума в этой теме занимается "своим делом"...
А на семинаре осенью 2010 года уверенно утверждал, что функция Жуковского в кватернионном случае давно известна.
Зато гордился тогда, что Людковский проявляет интерес к его тематике. Вот и его Петрик за углом, который легко проходит рецензентов, если они не специалисты.
Попытка приплести кватернионы в негативном значении - причем неважно, верно ли нет... один из худших способов рекламы своего журнала по гиперкомплексной тематике.
Как человек не понимает, что такими способами просто вредит самому себе... загадка.

Хотя его сотрудники говорили мне при личном общении, что в журнале хорошо бы развивать кватернионную тематику.
Даже своих собственных сотрудников не хочет слышать. Кто они для него, владельца журнала? Деньги платит и действует на пустых эмоциях.

[Time]

Kallikanzarid в сообщении #496473 писал(а):

Вы в каком веке живете? Ну ок, допустим вы на этот вопрос можете только развести руками, но тогда на каком основании вы причисляете элементы тех или иных объектов к числам? Революционное чутье? Вот элементы поля $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ являются числами? А элементы поля $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$? А дуальные числа - это числа?

Хотите сказать, что можете дать определение понятию числа?
А может заодно и материи? Пространства? Времени?
Приведите хотя бы для первого..

Независимо от того, что никто не может дать строгого определения понятию числа, математики вполне уверенно научились относить те или иные элементарные объекты к числам или нет. Вас, похоже, история с комплексными числами совершенно ничему не научила. Ах да, вы же родились в XX веке, тогда как она завершилась в XIIX, а у вас врожденное принебрежение по отношению к давно полученному опыту и фокусировка только на последних достижениях..

В качестве истороического ликбеза, специально для вас, напомню, что за комплексными числами только тогда признали статус обычных чисел, когда была открыта их красивая геометрическая интерпретация в качестве точек или векторов евклидовой плоскости. Причем арифметические операции над комплексными числами при этом сопоставлялись простейшим геометрическим преобразованиям плоскости: трансляциям и поворотам. После признания такой интерпретации и вхождении ее во всеобщий обиход, вопросы о принадлежности комплексных чисел к числам больше не задавались (во всяком случае, в среде профессионалов).
Это правда, но не вся. Если бы этого было достаточно, кватернионы также нужно было бы признать числами и естественными полноценными обобщениями комплексных чисел, что поначалу и пытались делать. Гамильтон (не форумный, а сам первооткрыватель кватернионов) и его, на первых порах, многочисленные сторонники так и считали. Действительно, первичные признаки числа, вроде бы все присутствуют, арифметические операции определены, причем даже деление. Кроме того имеется красивая геометрическая интерпретация как самих кватернионов, так и арифметических операций, путем сопоставления с геометрией четырехмерного евклидова пространства. Однако уже к началу XX века кватернионистов практически не осталось и сегодня они представлены той небольшой группой, в которую входит и наш hamilton. Спрашивается, почему?
Ответ, на мой взгляд, прост, хотя в глаза и не бросается. Дело в том, что трансляции и повороты, которым соответствует алгебра кватернионов лишь первая из двух групп фундаментальных преобразований в метрической геометрии. При преобразованиях этой группы сохраняются расстояния между парами точек. При преобразованиях второй фундаментальной группы сохраняются углы между произвольными пересекающимися кривыми. У комплексных чисел в отношениях с этой второй группой преобразований плоскости все впорядке. Любая аналитическая функция от них задает вполне конкретное конформное преобразование и их множество уже не 3-параметрическое, как у изометрий плоскости, а бесконечнопараметрическое. Точно такая же степень свободы и у аналитических функций.
У кватернионов, на первый взгляд, все точно так же. У соответствующего им четырехмерного евклидова пространства 15-параметрическая конформная группа и ей легко и естественно ставятся в соответствие специального вида функции кватернионной переменной, а именно, связанные с дробнолинейностью. Беда в том, что на этом все и заканчивается. У четырехмерного евклидова пространства нет более конформных преобразований, кроме входящих в эту 15-параметрическую группу, а значит, и ПРЯМЫХ обобщений аналитических функций комплексной переменной у кватернионов не бесконечное множество, а всего 15-мерное. Именно поэтому их нельзя считать полноценными обобщениями комплексных чисел. Нет, какие-то обобщения комплексной аналитичности, естественно, возможны. Без этого не продержалась бы полтора века та группа математиков, представителем которой является и hamilton. Но эти обобщения потеряли главное - прямую связь со вторым базовым инвариантом метрических пространств - углом, а через него и с конформной группой непрерывных симметрий. Конечно, можно предлагать иные негеометрические симметрии, но базовые, на которых и строится любая риманова геометрия уже отыграли. Именно поэтому те способы расширения на кватернионы аналитических функций, которые предлагают hamilton и его соратники уже никак не связаны с конформными преобразованиями, наоборот, специально оторваны от них. Обобщением аналитичности такие конструкции при большом желании называть можно, но с настоящей, полноценной и, если хотите, с гармоничной аналитичностью (конформностью) комплексной плоскости связи нет уже и в помине. Именно об этом пишут в своей книге Лаврентьев и Шабат, вычеркивая кватернионы и функции от них из списка удобных для математической физики обобщений ТФКП. Некоммутативность умножения тут дело десятое..

Примерейте теперь все вышесказанное к "своим" $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ и $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$? Геометрия какого пространства им соответствует? С какими инвариантами? Как обстоят дела со связями арифметических операций и функций с фундаментальными группами геометрических симметрий (пусть не обязательно с изометрическими и конформными)? Если вы или кто-то ответит на эти вопросы и эти ответы не будут восприниматься как седло на корове, можно смело начать подозревать "ваши" объекты в праве именоваться числами и в возможности поставить их рядом с действительными и комплексными числами. Боюсь, что вы не приведете таких ответов, а без них это точно не числа.

Теперь посмотрим более внимательно на двойные числа, которые многие не только во внешнем математическом мире, но и на этом небольшом форуме считают жалкими подобиями комплексных и практически бесполезными. На этом основании их, собственно, так же как и кватернионы обычно не помещают в замечательный ряд: натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные. Двойные числа относить к ЧИСЛАМ склонно еще меньше математиков, чем кватернионы и даже октавы (кстати, есть еще седенионы).

Связь арифметических операций над двойными числами с изометрическими преобразованиями и растяжениями двумерного пространства (вернее, двумерного пространства-времени) заметили в начале ХХ века (а никак не в XIX, как вы утверждаете), собственно, раньше и не могли, так как сама идея псевдоевклидовости пространства-времени появилась лишь в 1908 году, когда и была озвучена Г.Минковским. Правда, он говорил о четырехмерном многообразии, а не о двумерном, которое и нужно для двойных чисел. Первые известные мне упоминания о связи алгебры двойных чисел с трансляциями и гиперболическими поворотами псевдоевклидовой плоскости относятся к 30-м годам прошлого века. Существенно позже, уже во второй половине XX века, появились первые (во всяком случае, более ранних мне не попадплось) утверждения и о связи функций (их еще иногда называли h-аналитическими) двойной переменной с конформными преобразованиями двумерного пространства-времени. Впрочем, утверждения эти были достаточно расплывчатами и осторожными. И в отличие от их аналогов на комплексных числах, такие конформные преобразования как правило рассматривались только в пассивном смысле, то есть, в качестве переходов к новым нелинейным координатным сеткам (в частности, так их использовал Р.Пенроуз в ранних своих работах). Интерпретации этих конформных преобразований в активном смысле удостоилась пока только их маленькая 3-х параметрическая подгруппа, инвариантом для которой служит не только гиперболический угол, но и инетрвал. То есть, изометрические преобразования псевдоевклидовой плоскости. Однако, в активном смысле можно интерпретировать ВСЕ конформные, а не только изометрические преобразования плоскости двойной переменной. Правда, при этом придется существенно пересмотреть ограничения, накладываемые СТО, в частности, на постоянство модуля аналога четырехскорости в плоском пространстве-времени. Поскольку подобный пересмотр для подавляющего числа физиков еще не созрел, ни в теоретическом, ни в экспериментальном плане, конформная группа симметрий псевдоевклидова пространства-времени остается "не у дел", во всяком случае, при трактовке конформных преобразований с активной точки зрения.

Почему так произошло? Дело в том, что современная физика (не квантовая) в подавляющем большинстве теорий оперирует многомерными псевдоримановыми геометриями, а в соотвествующих плоских псевдоевклидовых прострнаствах группа конформных симметрий КОНЕЧНО-параметрическая. Тогда как у двумерного пространства-времени, она БЕСКОНЕЧНО-параметрическая. Зачем разрабатывать теорию активной интерпретации конформных преобразований двумерного пространства-времени, если даже в четырехмерном проcтранстве-времени соответствующих построений уже не удастся c аналогичным разнообразием применить? Вот и остались конформные преобразования двумерного пространства-времени и связанные с ними h-аналитические функции двойной переменной невостребованными (в активном их смысле).

Однако, все это мелочи по сравнению с главным. Оставив невостребованными двойные числа, их h-аналитические функции, а так же конформные преобразования плоскости без увязки с активными свойствами двумерного пространства-времени, физики оставили почти без внимания второй вариант расширения двумерного пространства-времени на четыре измерения (которые несомненно более интересны для практических задач). До сих пор мне попалась всего одна работа, в которой лишь вскользь такая возможность рассматривалась. Это дополнение к книге Рунда "Дифференциальная геометрия финслеровых пространств" написанное Г.С.Асановым, хорошо знающим финслеровы геометрии. На таком втором пути переход от псевдоевклидовой геометрии двойных чисел происходит не к пространству Минковского, а к четырехмерному плоскому финслерову пространству с метрикой Бервальда-Моора. В отличие от 15-параметрической группы конформных симметрий пространства Минковского, у четырехмерного пространства Бервальда-Моора конформная группа симметрий бесконечнопараметрическая. Именно поэтому, если для двойных чисел будет построена интерпретация конформных преобразований плоскости с активной точки зрения, эта конструкция совершенно без купюр перекочует в аналогичную интерпретацию конформных преобразований четырехмерного пространства-времени Бервальда-Моора.

Покажите пожалуйста ссылки, кто и когда в XIX веке (или хотя бы в XX или XXI) уже успел рассмотреть все это?

Цитата:

Ну что смеяться-то? Вам стоит читать учебники по алгебре, топологии и теории чисел - много, много книжек, а вы пытаетесь с инструментами XIX века переплюнуть XXI-й, да еще и надменно относитесь ко всем, кто указывает вам на это.

Надменно относитесь и не читаете статей по обсуждаемой тематике именно вы. Я же по ней прочитал и изучил довольно много. Во всяком случае, вполне достаточно, что бы специалисты финслеровым пространствам и связанным с ними гиперкомплексным алгебрам считались с моим мнением и уж точно не надсмехались. То, что почти никто из них не хочет выходить на данный (и другие) форумы, вполне понятно. Им вполне хватает специализированных семинаров и конференций (я давал вам ссылки на их участников), да и времени с желанием заниматься базаром - жалко. Я - другое дело, у меня свободного времени вполне достаточно, что бы выслушивать и отвечать на легковесные замечания таких как вы.

-- Чт окт 27, 2011 19:48:46 --

Цитата:

В отсутствии определения числа эти дебаты столь же содержательны, сколь и дебаты о танцах ангелов на конце булавки.

Расскажите об этом участникам дебатов по статусу комплексных чисел..

[hamilton]

академик Васильев Виктор Анатольевич, институт Стеклова
http://www.mi.ras.ru/~vva/
комментарий к предлагаемому учебнику по математике, 2006 год

"очевидный контрпример ко всем философским аргументам авторов, приведенным в этом абзаце, дают кватернионы,
которые являются естественнейшим и чрезвычайно полезным для современного естествознания расширением понятия комплексного числа.
Тем не менее, для них нарушается даже не распределительный, а переместительный закон!
А для следующего, также очень естественного и полезного расширения – октав, или чисел Кэли, – рушится и сочетательный закон умножения.
...На самом же деле все развитие науки - это история преодоления старых правил при выходе в чуть более широкую область...
Следовательно, “принцип перманентности Ганкеля” цитируется здесь неадекватным образом, поскольку Ганкель, конечно, знал о кватернионах."
http://www.mi.ras.ru/~vva/exp/2006/MURAVINY56(3).pdf

Time в сообщении #496731 писал(а):

У четырехмерного евклидова пространства нет более конформных преобразований, кроме входящих в эту 15-параметрическую группу, а значит, и ПРЯМЫХ обобщений аналитических функций комплексной переменной у кватернионов не бесконечное множество, а всего 15-мерное. Именно поэтому их нельзя считать полноценными обобщениями комплексных чисел. Нет, какие-то обобщения комплексной аналитичности, естественно, возможны. Без этого не продержалась бы полтора века та группа математиков, представителем которой является и hamilton. Но эти обобщения потеряли главное - прямую связь со вторым базовым инвариантом метрических пространств - углом, а через него и с конформной группой непрерывных симметрий.

который раз одно и то же?
полноценное обобщение аналитических функций комплексной переменной в случае кватернионной переменной с середины 19-го века требует расширения рамок конформности. Сами кватернионы жестко связаны с евклидовым пространством, так же как и комплексные числа, однако оказывается, что это обстоятельство абсолютно не мешает строить нееклидовы геометрии.
Лаврентьев, которого вроде бы уважает Time, еще в 30-40-х годах 20-го века понимал необходимость обобщения конформных отображений даже на плоскости, публиковал статьи, и за последующие десятилетия выросло мощное направление обобщенных аналитических функций на плоскости И.Н.Векуа, Берса, Альфорса и многих последователей. Боюсь, что для Time это будет неожиданным сюрпризом.
Наверное, Лаврентьев должен потерять авторитет в его глазах.
Леутвилер в 90-е годы 20-го века развил именно подход И.Н.Векуа, Берса и Альфорса в кватернионной форме.
Дальше я в 2003 году опубликовал обобщение для определенного класса аналитических функций октонионной переменной.
А потом пришел Людковский, прочитал мою статью, не понял, все перепутал и превратил в жуткую мешанину несовместимых между собой направлений.

А где в реальной физике находятся углы, о которых толкует Time - это загадка, на которую ответа нет.

[Kallikanzarid]

hamilton
Что значит "даже не распределительный"? Если бы нарушилась дистрибутивность, не было бы алгебры, не было бы алгебры - не о чем бы было говорить.

Time в сообщении #496731 писал(а):

Хотите сказать, что можете дать определение понятию числа?

Я хочу сказать, что понятие Числа не нужно, а ваша фиксация на нем (при отсутствии даже внятного определения) не несет никакой пользы для предмета и вырождается в схоластические разводы руками и меряние авторитетами (вот этот считал комплексные числа Числами, а вот этот не считал).

[hamilton]

Kallikanzarid в сообщении #496742 писал(а):

Что значит "даже не распределительный"? Если бы нарушилась дистрибутивность, не было бы алгебры, не было бы алгебры - не о чем бы было говорить.

Васильев писал это для людей, для которых базовые факты далеко не так ясны, как для Вас.

[Time]

hamilton в сообщении #496737 писал(а):

полноценное обобщение аналитических функций комплексной переменной в случае кватернионной переменной с середины 19-го века требует расширения рамок конформности. Сами кватернионы жестко связаны с евклидовым пространством, так же как и комплексные числа, однако оказывается, что это обстоятельство абсолютно не мешает строить нееклидовы геометрии.

Согласен со всем в этом абзаце, за исключением первого слова - "полноценное".
Согласен даже на то, что бы Вы и Ваши коллеги считали такие обобшения именно полноценными. В конце концов, это дело личное и субъективное. И против того, что на основе преобразований (не конформных) пространства кватернионов можно от плоского четырехмерного пространства переходить к кривым римановым пространствам - так же ничего не имею. Даже более того вполне отдаю отчет, что естественное расширение кватернионов над полем действительных чисел на кватернионы над полем комплексных чисел дает возможности оперировать уже не с преобразованиями одних только римановых пространств, но и псевдоримановых, во всю используемых современной релятивистской физикой пространства-времени. Статей по данному т.н. БИкватернионному направлению в нашем журнале наберется не один десяток (кстати, почему Вы ничего не пишите на счет полноценности/неполноценности именно в таком направлении обобшения комплексной аналитичности? В конце концов, для современной физики пространство-время на много более интересный и востребованный геометрический объект, чем просто риманово пространство без неразрывной связи со временем..), Вы их в упор не желаете видеть точно так же как и "наши" финслеровские варианты. Сторонники то бикватернионной аналитичности чем провинились? Или они так же как и Людковский все как один развивают лженауку, раз не отказываются от конформности? На всякий случай сообщу, что за бикватернионами стоит уже не геометрия четырехмерного евклидова пространства, а восьмимерного плоского пространства с ФИНСЛЕРОВОЙ метрической функцией и для этого пространства уже нет ограничений на конформность, накладываемой теоремой Лиувиля. То есть, конформные преобразования тут на много более разнообразные, чем в обычных квадратичных пространствах и связанное с ними обобщение аналитичности более заслуживает быть названным "полноценным".

Наконец, почему Вы отказываете в праве кому-то на научной основе рассматривать отказ не от конформности при расширении комплексной аналитичности, а в евклидовости или в псевдоевклидовости самой геометрии? Что Вы прочитали и разобрали в данном направлении? Я то хоть с несколько десятков работ по кватернионам и бикватернионам не только прочитал, но и самым внимательным образом изучил, прежде, чем принял решении идти в направлении финлеровости метрик и их непрерывных симметрий.

hamilton в сообщении #496737 писал(а):

Лаврентьев, которого вроде бы уважает Time, еще в 30-40-х годах 20-го века понимал необходимость обобщения конформных отображений даже на плоскости, публиковал статьи, и за последующие десятилетия выросло мощное направление обобщенных аналитических функций на плоскости И.Н.Векуа, Берса, Альфорса и многих последователей. Боюсь, что для Time это будет неожиданным сюрпризом.

Заблуждаетесь, я вполне знаком с изучением Лаврентьевым не только конформных, но и более общих преобразований и даже на комплексной плоскости. И знаю, что им так же можно сопоставить полезные физические интерпретации, в том числе в связи с неоднородными средами. Но дело в том, что даже для комплексной плоскости такие преобразования уже не связаны с аналитическими функциями комплексной переменной. Ваши функции на кватернионах вполне могут являться обобщениями таких неаналитических функций комплексной переменной, которым на комплексной плоскости отвечают неконформные преобразования. Именно об этом я на протяжении многих постов и пытаюсь Вам сказать. Это все совсем не умаляет значения проводимых Вами и Вашими коллегами исследований, но это совсем иное, чем "полноценное" обобщение комплексной аналитичности. Но самое главное, что как бы Вы не относились к естественности, полноценности и значимости собственных работ, это совершенно не дает Вам право обзывать усилия не разделяющих Ваших приоритетов физиков и математиков (в частности, ищущих аналогичные красивые результаты на алгебре и функциях бикватернионов и других гиперкомплексных чисел), как вредные и даже антинаучные. Тем более, не будучи знакомым с соответствующими исследованиями..

hamilton в сообщении #496737 писал(а):

А где в реальной физике находятся углы, о которых толкует Time - это загадка, на которую ответа нет.

Скажите, Вы правда не знаете, как интерпретируются гиперболические углы в двумерном пространстве-времени? Или уверены, что им нет места в современной физике?

[hamilton]

Time в сообщении #496731 писал(а):

напомню, что за комплексными числами только тогда признали статус обычных чисел, когда была открыта их красивая геометрическая интерпретация в качестве точек или векторов евклидовой плоскости.

Time в сообщении #496731 писал(а):

Обобщением аналитичности такие конструкции при большом желании называть можно, но с настоящей, полноценной и, если хотите, с гармоничной аналитичностью (конформностью) комплексной плоскости связи нет уже и в помине. Именно об этом пишут в своей книге Лаврентьев и Шабат, вычеркивая кватернионы и функции от них из списка удобных для математической физики обобщений ТФКП.

Действительно, подобная ситуация происходила и с геометрией Лобачевского, которую не признавали, пока Бельтрами не нашел реализацию неевклидовой геометрии в евклидовом пространстве
Бельтрами Э. Опыт интерпретации неевклидовой геометрии, 1868.
До него никто такую ситуацию не мог правильно представить.

В 19-м веке появилось уравнение Лапласа-Бельтрами. Оно обобщает уравнение Лапласа или нет, как Вы думаете, уважая Лаврентьева и Шабата?
Действительно, Шабат в 1985 году лично мне заявил, что теория функций кватернионной переменной невозможна.
Леутвилер показал, что Шабат заблуждался в этом вопросе. Именно после глубочайших статей Леутвилера стало ясно, куда надо двигаться.
Хотя до сих пор его очень мало кто понял в мире.

Time в сообщении #496767 писал(а):

Сторонники то бикватернионной аналитичности чем провинились?

Бикватернионы построил Гамильтон сразу вслед за открытием кватернионов.
У них был спор по этому поводу с Грейвсом и из-за этого Гамильтон долго тянул с публикацией открытия своего лучшего друга. В результате несправедливо приоритет получил молодой Кэли... Об этом отлично написал Баэз в статье, переведенной Элиовичем для Вашего журнала в 2006 году.

Как раз такие нестыковки меня и поражают. С одной стороны, видно, что у журнала есть отличный потенциал развития.
С другой стороны, жуткая некомпетентность в гиперкомплексной тематике, которой журнал должен развивать. Желания нет понять, что к чему, даже когда статьи уже напечатаны. И как это совмещается с постом главного редактора?

[Time]

hamilton в сообщении #496768 писал(а):

В 19-м веке появилось уравнение Лапласа-Бельтрами. Оно обобщает уравнение Лапласа или нет, как Вы думаете, уважая Лаврентьева и Шабата?

Обобщений уравнения Лапласа для двумерного евклидова пространства существует множество. Одно из них для трех- и многомерных евклидовых пространств. Другое для римановых расширений на неевклидовы пространства. Третье, на двумерное псевдоевклидово пространство-время (его еще называют уравнением Даламбера для двумерия). Четвертое и пятое на многомерные псевдоевклидовы и псевдоримановы пространства. Шестое и сто-двадцать пятое - на множество плоских финслеровых пространств.
Вам понравились только те обобщения уравнения Лапласа, которые связаны с четырехмерными (может и трех-) евклидовыми и римановыми пространствами. Кассандрову, Ефремову, Элиовичу и многим другим - на пространство связанное с бикватернионами, а мне - на четырехмерное плоское финслерово пространство-время с метрикой Бервальда-Моора. Ни один из этих вариантов обобщений не отменяет и не заменяет собой других вариантов обобщений. Весь вопрос в том, на каком из путей появится больше полезных для физики и математики следствий.. Рубить и не признавать все, что не нравится Вам лично, просто глупо.

[Kallikanzarid]

Time в сообщении #496731 писал(а):

После признания такой интерпретации и вхождении ее во всеобщий обиход, вопросы о принадлежности комплексных чисел к числам больше не задавались (во всяком случае, в среде профессионалов).

Там речь шла о возможных парадоксах, слово "числа" и причисление к ним комплексных чисел - это исключительно ваш пунктик.

Time в сообщении #496731 писал(а):

Дело в том, что трансляции и повороты, которым соответствует алгебра кватернионов лишь первая из двух групп фундаментальных преобразований в метрической геометрии.

Аккуратней с терминами. А то метрическая геометрия - совсем о другом, да и фундаментальная группа - тоже :)

Time в сообщении #496731 писал(а):

Беда в том, что на этом все и заканчивается. У четырехмерного евклидова пространства нет более конформных преобразований, кроме входящих в эту 15-параметрическую группу, а значит, и ПРЯМЫХ обобщений аналитических функций комплексной переменной у кватернионов не бесконечное множество, а всего 15-мерное. Именно поэтому их нельзя считать полноценными обобщениями комплексных чисел.

Значимость этого факта вы не показали; критерий, по которому обобщение считается "полноценным", не привели - одно словоблудие. Точно также я мог бы сокрушаться по поводу размерности пространства дифференцирований в точке $C^k$-многообразий: вон при $k < \infty$ оно бесконечномерное, а при $k = \infty$ вдруг становится конечномерным, что это за многообразия тогда такие?

Time в сообщении #496731 писал(а):

Именно об этом пишут в своей книге Лаврентьев и Шабат, вычеркивая кватернионы и функции от них из списка удобных для математической физики обобщений ТФКП.

Почему-то Баецу это не мешает находить важные приложения кватернионов в квантовой механике и теории струн.

Time в сообщении #496731 писал(а):

Примерейте теперь все вышесказанное к "своим" $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ и $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$? Геометрия какого пространства им соответствует? С какими инвариантами? Как обстоят дела со связями арифметических операций и функций с фундаментальными группами геометрических симметрий (пусть не обязательно с изометрическими и конформными)? Если вы или кто-то ответит на эти вопросы и эти ответы не будут восприниматься как седло на корове, можно смело начать подозревать "ваши" объекты в праве именоваться числами и в возможности поставить их рядом с действительными и комплексными числами. Боюсь, что вы не приведете таких ответов, а без них это точно не числа.

Это ваше субъективное мнение, ничем не подкрепленное - то есть абсолютно ничем. А все потому, что вы делаете неформальное и неясное понятие числа краеугольным камнем в своих рассуждениях. Такие рассуждения ничего общего не имеют с математикой. Кстати, вы натуральные числа считаете числами?

Давайте сразу проясним (хотя бы неформально): что меняется от того, что то или иное кольцо признают кольцом Чисел?

Time в сообщении #496731 писал(а):

Расскажите об этом участникам дебатов по статусу комплексных чисел..

Я бы рассказал, но они уже все умерли

[hamilton]

Time в сообщении #496776 писал(а):

Вам понравились только те обобщения уравнения Лапласа, которые связаны с четырехмерными (может и трех-) евклидовыми и римановыми пространствами. Кассандрову, Ефремову, Элиовичу и многим другим - на пространство связанное с бикватернионами, а мне - на четырехмерное плоское финслерово пространство-время с метрикой Бервальда-Моора. Ни один из этих вариантов обобщений не отменяет и не заменяет собой других вариантов обобщений. Весь вопрос в том, на каком из путей появится больше полезных для физики и математики следствий.. Рубить и не признавать все, что не нравится Вам лично, просто глупо.

Конечно, совершенно согласен, если в направлении нет внутренних противоречий, пусть каждый развивает как видит.
Не надо поливать грязью методы, которые позволяют решать проблемы, висящие в воздухе веками... или Вы думаете по-другому?

А люди, которые читают уже готовое, не понимают, не ссылаются, корежат смысл сделанного, публикуют ложные результаты - как их называть за это?
Может, по головке погладить и поощрить ? Чем такие люди отличаются от лжеученого Петрика?

[Time]

hamilton в сообщении #496783 писал(а):

Конечно, совершенно согласен, если в направлении нет внутренних противоречий, пусть каждый развивает как видит.

Замечательно. Только с одной оговоркой, пусть о наличии внутренних противоречий в конкретном направлении судят, в первую очередь, специалисты, потратившие на именно его развитие по много лет и на профессиональной основе, а не специалисты в других направлениях, не знакомые с нюансами и спецификой работы соседей.. Тогда будет все нормально.

hamilton в сообщении #496783 писал(а):

Не надо поливать грязью методы, которые позволяют решать проблемы, висящие в воздухе веками... или Вы думаете по-другому?

Покажите примеры "поливания грязью" мною или моими товарищами методов связанных с кватернионами. Только пожалуйста конкретно, надеюсь, для Вас не составит труда привести цитаты таких поливаний..

[hamilton]

Time в сообщении #496799 писал(а):

Замечательно. Только с одной оговоркой, пусть о наличии внутренних противоречий в конкретном направлении судят, в первую очередь, специалисты, потратившие на именно его развитие по много лет и на профессиональной основе, а не специалисты в других направлениях, не знакомые с нюансами и спецификой работы соседей.. Тогда будет все нормально.

Согласен, когда редколлегия журнала от волюнтаризма и дилетантизма перейдет к взаимодействию со специалистами, по крайней мере, по вопросам вопиющей несправедливости и начнет нормально реагировать на здоровую критику, то журнал станет намного адекватнее и грамотнее.

-- Пт окт 28, 2011 15:51:33 --

hamilton в сообщении #496811 писал(а):

Покажите примеры "поливания грязью" мною или моими товарищами методов связанных с кватернионами. Только пожалуйста конкретно, надеюсь, для Вас не составит труда привести цитаты таких поливаний..

если Вы не видите Ваши высказывания, что я цитировал вчера, зато гордитесь тем, что подняли эту тему в изначально ошибочной постановке.
какой смысл повторяться сегодня...