Случайные величины

[Sverest]

Непрерывная СВ задана дифференциальной функцией:
$ f(X)=\begin{cases} 0,& x \le 0;\\ \frac{3x^2-2x}{C},&1<x \le 4$;\\ 0,&$x>4$. \end{cases} $
Найти: коэфициент С;
интегральную функцию распределения;
построить $F(X)$ и $f(x)$;
$M(X)$; $D(X)$; $\sigma(X)$;
$P(2<X<3.5)$.

1) Найдем коэффициент С
$\int^{+\infty}_{-\infty} f(X) dx=1$

$\int^{+\infty}_{-\infty} f(X) dx=0+\int^{4}_{1} (\frac{3x^2}{C} -\frac{2x}{C})dx+0=\frac{3}{C}(\frac{x^3}{3}|^4_1)-\frac{2}{C}(\frac{x^2}{2}|^4_1)=\frac{3}{C}(\frac{64-1}{3})-\frac{2}{C}(\frac{16-1}{2})=\frac{3}{C}(21)-\frac{2}{C}(\frac{15}{2})=\frac{63}{C}-\frac{15}{C}=\frac{48}{C}$

$C=48$

2)Найдем интегральную функцию
$F(X)=\int^{x}_{-\infty} f(x) dx$

при $x \le 1$ и $x>4$ $F(X)=0$

при $1<x \le 4$

$F(X)=\int^{x}_{1} (\frac{3x^2}{48}-\frac{2x}{48})dx=\frac{3}{48}\frac{(x^3 -1)}-\frac{2}{48} \frac{(x^2-1)}{2}=\frac{(x^3-1)-(x^2-1)}{48}=\frac{x^3-x^2}{48}$

3)$ P(2<X<3.5)$

$ P(2<X<3.5)=\int^{3.5}_{2} \frac{3x^2-2x}{48} dx=\frac{3}{48}(\frac{3.5^3-2^3}{3})-\frac{2}{48}(\frac{3.5^2-2^2}{2})=\frac{3.5^3-2^3-3.5^2+2^2}{48}=\frac{26.625}{48} \approx \frac{27}{48}$

4) Математическое ожидание

$M(X)=\int^{+\infty}_{-\infty} x f(x) dx$

$M(X)=0+\int^4_1 x(\frac{3x^2-2x}{48})dx + 0=\frac{3}{48}\frac{4^4-1}{4}-\frac{2}{48}\frac{4^3-1}{3}=\frac{765}{192}-\frac{126}{144}=\frac{110160-24192}{27648}=\frac{85968}{27648} \approx 3.1$

У меня здесь нет ошибки?

[ewert]

Sverest в сообщении #496688 писал(а):

при $x \le 1$ и $x>4$ $F(X)=0$

Неверно.

Sverest в сообщении #496688 писал(а):

$ P(2<X<3.5)=\int^{3.5}_{2} \frac{3x^2-2x}{48} dx=\frac{3}{48}(\frac{3.5^3-2^3}{3})-\frac{2}{48}(\frac{3.5^2-2^2}{2})=\frac{3.5^3-2^3-3.5^2+2^2}{48}=\frac{26.625}{48} \approx \frac{27}{48}$

Это, может, и верно (арифметику не проверял). Только, во-первых, не этого от Вас ожидали: надо было не интегрировать заново, а просто подставить пределы в уже готовую функцию распределения. А во-вторых, последний приближённый переход нелеп: следовало или оставить как есть, или уж выписать приближённое значение всей дроби.

[Sverest]

При $x>4$ $~F(X)=1$