теорема Муавра-Лапласа

[BapuK]

Задача: Если в среднем левши составляют 1%, то какова вероятность, что среди 200 человек
а) окажется ровно 4 левши?
б) найдется 4 левши?
а)по локальной теореме получается от такой ответ: wolfram
б) по интегральной теореме имеем: wolfram
Почему то вероятность в первом вопросе получается больше вероятности во втором вопросе, хотя по логике вещей должно быть с точностью да наоборот, почему так? Или просто при малых m интегральная теорема дает слишком плохие приближения?

[ewert]

Это -- не на Муавра-Лапласа, а на Пуассона.

[BapuK]

Пуассон это же когда $p_nn\to\lambda$, где $p_n$ - вероятность $n$-го испытания, здесь же это не так

[Хорхе]

Нет, $p_n$ -- это вероятность успеха в каждом из $n$ испытаний. В Вашем случае произведение равно двум, "не очень маленькое и не очень большое" (в сравнении с количеством испытаний), так что это таки Пуассон.

[ewert]

BapuK в сообщении #496122 писал(а):

где $p_n$ - вероятность $n$-го испытания,

Это -- неправильная (и даже в определённом отношении бессмысленная) формулировка. Кроме того, "стремится" -- это абстракция, на практике же речь о том, что испытаний много и при этом среднее $np$ -- порядка единицы или нескольких. Здесь это именно так.

[BapuK]

Спасибо, вроде понял, т.е. если $np$ близко к $1$, то используем теорему Пуассона, а если нет, то лучше используем Муавра-Лапласа, так?

[_hum_]

Полезно понимать, что и локальная теорема, и теорема Пуассона - это аппроксимации биномиального распределения, просто в разных областях. Поэтому выбирать их стоит, как и всякую аппроксимацию, исходя из того, какие ошибки вы считаете допустимыми в этой аппроксимации. Для пуассоновской аппроксимации максимальная абсолютная ошибка оценивается:

$$\max_k |P_n(k) - \pi_k| \leq \frac{\lambda}{n/2}\min\{2,\lambda\}.$$

[--mS--]

(Оффтоп)

_hum_ в сообщении #496140 писал(а):

Для пуассоновской аппроксимации максимальная абсолютная ошибка оценивается:

$$\max_k |P_n(k) - \pi_k| \leq \frac{\lambda}{n/2}\min\{2,\lambda\}.$$

Даже расстояние по вариации, заведомо мажорирующее разность вероятностей в точках, оценивается как минимум вдвое лучше:

$$\sup_A|\textrm{Binom}_{n,\,p}(A)-\textrm{Poiss}_{np}(A)|\leq \min(p,\,np^2)=\frac{\lambda}{n}\min\{1,\lambda\}.$$