Студенческая олимпиада НГУ по математике (23 октября 2011г.)

[TOTAL]

4) Из $(\overrightarrow{AF}, -\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE})=0$ следует $(\overrightarrow{AE}, -\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF})=0$,
т.к. $(\overrightarrow{AF}, \overrightarrow{AD})=(\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AD})=(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AB})=(\overrightarrow{AE}, \overrightarrow{AB})$

[neo66]

TOTAL в сообщении #495855 писал(а):

4) Из $(\overrightarrow{AF}, -\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE})=0$ следует $(\overrightarrow{AE}, -\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF})=0$,

Гениально!

[nnosipov]

4. Будем интерпретировать точки как комплексные числа. Пусть $E=E(t)$ --- линейная параметризация точки $E$. Тогда, очевидно, точка $F=F(t)$ допускает дробно-линейную параметризацию (как точка пересечения двух прямых). В таком случае скалярное произведение векторов $AE(t)$ и $BF(t)$ есть отношение чего-то квадратичного по $t$ к чему-то линейному по $t$. И это отношение будет тождественно равно нулю, если оно будет равно нулю для трёх разных значений параметра $t$, т.е. для трёх различных точек $E(t)$. Такие точки нетрудно указать: $E=C$, $E=D$ и $E=\infty$.

[DjD USB]

3) $x \sqrt{y-1} + y \sqrt{x-1} = xy$
$\sqrt{y-1} \ge0 $
$y \ge1$
аналогично $x \ge1$ Это Одз следовательно x,y положительные

Из данного уравнения видно что $xy \ge{y\sqrt{x-1}$ Разделим на y т.к $y$ не равен 0
$x \ge \sqrt{x-1}$ Возведем обе части в квадрат
$x^2 - x +1 \ge0$
D<0 следовательно x принадлежит [1;+бисконечности)
Аналогично у

[nnosipov]

DjD USB в сообщении #495966 писал(а):

x принадлежит [1;+бисконечности)

Это, конечно, здорово, но чему равно это $x$?

[DjD USB]

А чему же еще???

[MrDindows]

DjD USB в сообщении #495994 писал(а):

А чему же еще???

Это у вас спросили, чему равен икс?)
В условии какбы говорится: "Найти все действительные решения ...".
В вашем посте только правильно найдено ОДЗ, дальше идут ненужные неравенства, которые собственно ни решения, и ничего иного не дают.

[Руст]

$f(x)+f(y)=1, f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x}$. Если $x=1+z^2$, то $f(x)=\frac{z}{1+z^2}\le \frac 12$ равенство только при $z=1\to x=y=2$.

[ewert]

Руст в сообщении #496081 писал(а):

$f(x)+f(y)=1, f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x}$.

Это, конечно, бросается в глаза, только зачем дальше ещё что-то изобретать: тупо дифференцируем и сразу видим, что точка максимума -- это $x=2$...

(да, а поиск максимума напрашивается потому, что после выскакивания этой функции возникает естественное желание глянуть на эскиз её графика; ну а на концах области определения функция, очевидно, обращается в ноль)

[TOTAL]

ewert в сообщении #496088 писал(а):

тупо дифференцируем и сразу видим, что ...

Сразу тупо видим, что $x \sqrt{y-1} \ge y \sqrt{x-1},$ поэтому $2x \sqrt{y-1} \ge xy,$
поэтому $2 \sqrt{y-1} \ge y,$ поэтому $y=2.$

[bot]

Ещё так $\frac{\sqrt{x-1}}{x}=\frac{1}{\sqrt{x-1}+\frac{1}{\sqrt{x-1}}}$

[TOTAL]

bot в сообщении #496092 писал(а):

Ещё так $\frac{\sqrt{x-1}}{x}=\frac{1}{\sqrt{x-1}+\frac{1}{\sqrt{x-1}}}$

Решение не засчитывается, т.к. в нём отсутствуют слова "тупо видим"

[bot]

TOTAL в сообщении #496091 писал(а):

Сразу тупо видим, что

[ewert]

TOTAL в сообщении #496091 писал(а):

:D Сразу тупо видим, что $x \sqrt{y-1} \ge y \sqrt{x-1},$

Это, конечно, элегантно, но как-то нарочито невнятно подано.

[bot]

(Оффтоп)

Это его стиль
Кстати, в студенческие годы приходилось разгадывать подобные шарады в конспектах