возможна ли смена индексов в сумме?

[ert]

пусть есть вектор $\vec{x}$ и матрица элементы которой зависят от компонент вектора $x$, $ A=a_{ij}(x)$ и вычисляется следующая сумма $a^{-1}_{ni}\frac{ \partial a_{ij}}{\partial x_n}x_j$ могу ли я в сумме переставить индексы суммирования таким образом чтоб получилась сумма $a^{-1}_{nn}\frac{ \partial a_{ii}}{\partial x_j}x_j$ ? (будут ли эти две суммы давать одинаковый результат?). Прошу прощения за этот довольно глупый вопрос, я раньше всегда думал что можно менять в такого рода суммах только немые индексы, но тут стал пересчитывать то что написано в одной книге и у меня получилось что эти две суммы равны (если я ранее не сделал ошибку).

[AlexValk]

Рассмотрите двумерный пример:
$\vec{x}=(x_1,x_2)$, $A=\left(\begin{smallmatrix}x_1^2+x^2 & 0\\ 0 & -x_1^2-x^2\end{smallmatrix}\right)$.
И проделайте все суммирования в явном виде для исходного варианта и для варианта с Вашей перестановкой индексов.

[svv]

Правильная перестановка индексов не меняет слагаемые, входящие в сумму, это только изменение "ярлычков", прикреплённых к каждому слагаемому. Собственно, благодаря этому сумма и не меняется при таких операциях.

Однако в Вашем примере Вы хотите проделать операцию, которая уничтожит все слагаемые с недиагональными элементами матриц.

[Munin]

Смысл индекса не в имени, а в том, что он указывает, какие члены выражения как друг с другом связаны.
$a^{-1}_{ni}\frac{ \partial a_{ij}}{\partial x_n}x_j$ читается как: "первый индекс первого множителя совпадает с индексом переменной дифференцирования; второй индекс первого множителя совпадает с первым индексом величины под производной; и второй индекс величины под производной совпадает с индексом третьего множителя".
$a^{-1}_{nn}\frac{ \partial a_{ii}}{\partial x_j}x_j$ читается как: "индексы первого множителя совпадают между собой; индексы величины под производной совпадают между собой; и индекс переменной дифференцирования совпадает с индексом третьего множителя".
Ничего похожего, и должно быть понятно, что так переименовывать нельзя. Собственно, второе выражение распадается на независимые подвыражения:
$(a^{-1}_{nn})\bigl(x_j\frac{ \partial }{\partial x_j}\bigr)(a_{ii}).$