...как найти хорошие начальные приближения для поиска решений?
Никаких общих формальных правил нет.
- Обычно пробуют несколько (вплоть до "много") разных начальных приближений.
- Если задача - прикладная, то учитывается физический смысл.
- Иногда удается сначала решить очень упрошенный вариант исходной системы и использовать его как нач.прибл.
- Если интуиция совсем ничего не подсказывает, то вспоминают преферанс ("хода нет - ходи с бубей") и задают начальное приближение (0, 0, ...) или (1, 1, ...).
Дополнительное замечание.
Вернусь к своему примеру:
Цитата:
Но если нужны только вещественные решения, то есть

, то система становится переопределенной:

Легко видеть, что она имеет точное решение только при определенных значениях параметров

.
Решение

существует при условии

.
То есть, мы нашли:
а) вещественное решение;
б) соотношения между параметрами, при котором вещественное решение существует.
В общем случае: требование вещественности решения комплексной системы уравнений означает, что между параметрами системы должны существовать определенные соотношения, допускающие это вещественное решение.
В зависимости от физического смысла задачи сами эти соотношения между параметрами могут представлять самостоятельный интерес.