Доопределение непрерывной на замкнутом множестве функции

[ellipse]

Как доказать следующее утверждение: Если $f$ непрерывна на замкнутом $F\subset \mathbb{R}$, то она может быть непрерывно доопределена на всем $\mathbb{R}$.

$F$ - замкнутое множество, значит состоит из не более чем счетного числа замкнутых отрезков. На каждом таком отрезке $f$ непрерывна, а значит ограничена, на концах принимает конкретные значения. Понятно, что между отрезками график функции можно соединить прямой, т.е. доопределить линейной функцией.

Небольшие сомнения в полноценности рассуждений в отношении бесконечности. Если $F$ ограничено сверху(снизу), то из крайнего отрезка вправо(влево) $f$ можно положить константой. Но что, если $F$ не ограничено? Или этот случай не надо отдельно рассматривать?

[mihailm]

ellipse в сообщении #495523 писал(а):

...
$F$ - замкнутое множество, значит состоит из не более чем счетного числа замкнутых отрезков
...

Из каких отрезков состоит Канторово множество?
(кстати отрезки всегда замкнуты)

[ellipse]

mihailm в сообщении #495525 писал(а):

Из каких отрезков состоит Канторово множество?
(кстати отрезки всегда замкнуты)

Я рассуждал так. Известно, что любое открытое множество из $\mathbb{R}$ состоит из не более чем счетного числа интервалов, значит его дополнение состоит из не более чем счетного числа отрезков.

[Someone]

Это "значит", конечно, бесподобно. К сожалению, оно опровергается канторовым совершенным множеством (знаете, что это такое?), которое не содержит ни одного отрезка.

А зачем Вам эти отрезки? Вот открытое множество на числовой прямой (дополнение этого самого замкнутого), как Вы совершенно справедливо заметили, действительно можно представить как объединение некоторого (не более чем счётного) множества попарно не пересекающихся интервалов. На этих интервалах Вам и нужно определить функцию.

[ellipse]

Someone в сообщении #495541 писал(а):

Это "значит", конечно, бесподобно. К сожалению, оно опровергается канторовым совершенным множеством (знаете, что это такое?), которое не содержит ни одного отрезка.

Процедуру построения канторова множества, конечно, знаю, но его свойства понимаю плохо. А из чего же оно состоит?

Рассуждал я так. Пусть $F$ - замкнутое множество, его дополнение открытое и состоит из не более чем счетного числа интервалов. Каждому (за исключением быть может одного самого крайнего) такому интервалу можно поставить в соответствие то, что лежит между ним и соседним слева интервалом. Но между двумя соседними интервалами лежит отрезок. Где ошибка в рассуждении?

Someone в сообщении #495541 писал(а):

А зачем Вам эти отрезки? Вот открытое множество на числовой прямой (дополнение этого самого замкнутого), как Вы совершенно справедливо заметили, действительно можно представить как объединение некоторого (не более чем счётного) множества попарно не пересекающихся интервалов. На этих интервалах Вам и нужно определить функцию.

То есть можно утверждать, что на концах интервалов функция имеет какие-то конечные значения и в интервалах определяем функцию, например, линейной так, чтобы пределы слева\справа были равны значениям функции на концах интервала. Правильно?

[Joker_vD]

ellipse в сообщении #495757 писал(а):

А из чего же оно состоит?

Из несчетного набора точек. Но самое интересное у него другое — его внутренность пуста, оно не содержит ни одного интервала! А значит, не содержит и ни одного отрезка (Я не называю пустое множество интервалом, а точку — отрезком, хотя формально...).

ellipse в сообщении #495757 писал(а):

замкнутое множество, его дополнение открытое и состоит из не более чем счетного числа интервалов.

Откуда эта фишка про счетность?

[ellipse]

Joker_vD в сообщении #495761 писал(а):

Откуда эта фишка про счетность?

Колмогоров, Фомин - Элементы функционального анализа, Гл.II, параграф 2, п.5 Открытые и замкнутые множества на прямой.

[Joker_vD]

ellipse
Хм, действительно. Тогда

ellipse в сообщении #495757 писал(а):

можно утверждать, что на концах интервалов функция имеет какие-то конечные значения и в интервалах определяем функцию, например, линейной так, чтобы пределы слева\справа были равны значениям функции на концах интервала.

Вообще, счетность тут как бы и ни при чем... Зато очень существенно то, что именно интервалы — ведь если у вас в постановке сделать $F$ открытым, доказательство не проканает.

[Someone]

ellipse в сообщении #495757 писал(а):

Рассуждал я так. Пусть $F$ - замкнутое множество, его дополнение открытое и состоит из не более чем счетного числа интервалов. Каждому (за исключением быть может одного самого крайнего) такому интервалу можно поставить в соответствие то, что лежит между ним и соседним слева интервалом. Но между двумя соседними интервалами лежит отрезок. Где ошибка в рассуждении?

Ошибка в том, что "соседнего" интервала нету. Ни слева, ни справа. Попробуйте найти этот "соседний" интервал, и Вы это поймёте.

[Padawan]

Концы открытых интервалов принадлежат множеству $F$. А про линейное продолжение - правильно. Теперь докажите, что полученная функция будет непрерывна.