Краевые n-точечные задачи для ОДУ

[btf]

Есть большие проблемы с практической реализацией известных методов. Ученые от математики утверждают, что раздел линейных ОДУ полностью изучен и проблем нет. При этом решать конкретные задачи не хотят (не царское это дело). Пакеты компьютерной математики не помогают. Складывается ощущение, что в России теория ОДУ в "загоне". Защищаются диссертации с кучей формул и с рассмотрением частных случаев, которые не возможно использовать в практической инженерной сфере. Стараюсь скупать все интересные современные издания по теории линеных ОДУ. 15 лет "штиля". Ветер с запада не доходит. Общался с китайцами - складывается впечатление, что они впереди. Господа ученые, ау! Кроме 2-3 порядков Вас что-нибудь интересует? По вопросам приближенных методов не беспокоить. Устал "пристреливаться".
С уважением, btf (Дмитрий - главный конструктор "одного" древнего КБ)[/i]

[roman_kiseliov]

Почитать можно вот это
Quarteroni, Alfio et al. Numerical mathematics / ISBN 0-387-98959-5 / 2000
Springer-Verlag New York, Inc.
и
Lynch, Daniel R. Numerical partial differential equations for environmental scien-
tists and engineers: a first practical course / ISBN 0-387-23619-8 / 2005 Springer
Science+Business Media, Inc.

Последняя, правда, по уравнениям в частных производных, но, как правило, при численном решении уравнения в частных производных оно сводится к системе ОДУ, поэтому авторы освещают и эту тему. Да и метод конечных элементов, мимо которого проходить однозначно не стоит, -- полезно освоить в КБ.

Еще воот:
Solin, Pavel. Partial differential equations and the finite element method /
ISBN-13 978-0-471-72070-6 / 2006 by John Wiley & Sons, Inc.
Knabner, Peter, Angermann, Lutz. Numerical methods for elliptic and parabolic
partial differential equations / ISBN 0-387-95449-X / 2003 Springer-Verlag New
York, Inc.
Evans, Lawrence. Partial Differential Equations / ISBN 0-8218-0772-2 / 1998
American Mathematical Society, Providence

Последняя не по численным методам (для НИИ, а не КБ ), но все равно интересно. Еще можно вспомнить Numerical Recipes in C.

Все эти книги утащил из интернета. В отношении реализации посмотрите на GNU Scientific Library.

[V.V.]

Дмитрий!

Сформулируйте те конкретные задачи, которые Вам нужны.

[sadomovalex]

Я как-то использовал метод ортогональной прогонки для решения краевой задачи для системы ОДУ, описанном в учебнике по чиленным методам Бахвалова и др. В журнале "Вычислительные методы и программирование" при НИИВЦ МГУ есть очень хорошая статья про этот метод: http://num-meth.srcc.msu.su/zhurnal/tom_2001/art3_4.html

[V.V.]

sadomovalex писал(а):

В журнале "Вычислительные методы и программирование" при НИИВЦ МГУ есть очень хорошая статья про этот метод: http://num-meth.srcc.msu.su/zhurnal/tom_2001/art3_4.html

Рассмотренная в этой задача - не n-точечная.

[DON_VINTON]

Если возможно , распишите подробно задачу .

[btf]

Прошу прощения, что не могу привести конкретную задачу.

Но примерно так:

d^5 y(t) / dt^5 - d^4 y(t) / dt^4 = 0
y(0) = 0; dy(1)/dt=1; d^2y(3)/dt^2=0; d^3y(4)/dt^3=0; d^4y(6)/dt^4=1

Однородное ОДУ, начальные условия в 5 точках.

Как бы его свести к одноточке Коши?

Спасибо за участие

Дмитрий[/img]

[V.V.]

btf писал(а):

Однородное ОДУ, начальные условия в 5 точках.
Как бы его свести к одноточке Коши?

Казалось бы, можно применить метод стрельбы.

Но зачем сводить к Коши? Может, лучше функцию Грина попытаться выписать?

P.S. Кстати, конкретное решение этой неконкретной задачи
$y(x)=e^{x-6}-e^{-6}-(5e^3-2e^2+2)/(2e^5) x+(3e-1)/(2e^3) x^2-x^3/(6e^2)$.

[btf]

Спасибо, по вашим ссылкам ходил. Информацию взял. Буду разбираться.
Наверное Вы пользовались при решении символьным пакетом?
Каким?

Я пробывал Maple и Mathematica - не получилось (наверное у меня кривые руки и растут не в ту сторону). Версии у меня были от разработчика (забугорные), но 3-х летней давности.

С Грином - буду пытаться. Ваше мнение - если коэффициенты в том же неконкретном случае будут переменными, а справа появится Дирак или Хевисайд жить не станет сложнее?

Почему Коши - т.к. мне надо реализовать алгоритм решения в ПО железа и работать оно должно в реальном времени (с определенной степенью приблежения к реальному). Задача Коши в аналитической форме (на сколько это позволяет числовая среда программирования) для порядков более 40 не вызывает проблем. Хотя пришлось разрабатывать собственные методы решения задачи Коши - аналитические, в т.ч. по приведению неоднородных уравнений с квазиполиномом в правой части к однородному минимального порядка, и аналоговые (на операционных услителях). Если интересно для практического использования в технических системах - готов вступить в контакт на безвозм. основе. Кстати, в Maple 6-8 функция решения ОДУ была собственностью не фирмы-разработчика пакета, а частного лица.

Очень благодарен. Наши местные провинциальные университетские математики мне 3 года отказывались помочь. Стало грустно

[roman_kiseliov]

btf писал(а):

Прошу прощения, что не могу привести конкретную задачу.

Но примерно так:

d^5 y(t) / dt^5 - d^4 y(t) / dt^4 = 0
y(0) = 0; dy(1)/dt=1; d^2y(3)/dt^2=0; d^3y(4)/dt^3=0; d^4y(6)/dt^4=1

Однородное ОДУ, начальные условия в 5 точках.

Как бы его свести к одноточке Коши?

Спасибо за участие

Дмитрий

От ур-я 5 порядка перейти к систмеме уравнений из 5 ур-й 1-го порядка.
Вы по лучите задачу Коши для вектор-функции в 1й точке, как Вы и хотите.

[V.V.]

roman_kiseliov писал(а):

От ур-я 5 порядка перейти к систмеме уравнений из 5 ур-й 1-го порядка.
Вы получите задачу Коши для вектор-функции в 1й точке, как Вы и хотите.

Нет. Условия, как и прежде, будут заданы в пяти точках, т.е. задача пятиточечная.

[roman_kiseliov]

вы правы.
я ошибся.

[V.V.]

btf, Вам еще надо решать конкретные задачи?