Теория вероятностей

[Sverest]

1) В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика вынули 2 шара (выборка бесповторная). Найти вероятность того что, оба шара белые.

$\frac{6}{14} \cdot \frac{5}{13}=\frac{15}{91}$

2) в мешочке имеются 7 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика одна из следующих букв: о,п,р,с,т,о,м. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных "в одну линию" кубиках можно будет прочесть слово: "спорт"; "опрос".

спорт:
$\frac{1 }{ 7} \cdot \frac{1 }{ 6} \cdot\frac{2 }{5 } \cdot\frac{1 }{4 } \cdot\frac{ 1}{3 }=\frac{1}{1260}$

опрос:
$\frac{2 }{ 7} \cdot \frac{1 }{ 6} \cdot\frac{1 }{5 } \cdot\frac{1 }{4 } \cdot\frac{ 1}{3 }=\frac{1}{1260}$

3) вероятность попадания в цель при стрельбе из первого орудия равна 0,8 , при стрельбе из второго орудия 0,7
Найти вероятность поражения цели при одновременном выстреле обоих орудий.
Замечание: поражение - хотя бы одно попадание из какого - либо орудия.

Пусть А-попадание из первого орудия, В - из второго
так-как события совместны, то
$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.7-0.8 \cdot 0.7=0.94$

4) На предприятии при массовом изготовлении некоторого изделия брак составляет в среднем 1,5 % общего числа всех изделий. 96 % числа годных изделий составляют изделия первосортные. Найти вероятность того, что наугад взятое изделие окажется первосортным.

подсчитаем число не бракованных изделий $100-1.5=98.5 $ (%)
гипотеза $H_1$ взято не бракованное изделие, А- взятое изделие первосортное
$P(H_1)=0.985$
по формуле полной вероятности
$P(A)=P(H_1) \cdot P(A|H_1)=0.96 \cdot 0.985 =0.9456$

5) Три стрелка независимо друг от друга производят по одному выстрелу. Вероятности попадания в цель равны соответственно 0,6; 0,7; 0,9. Определить вероятность двух промахов

А- попадание $\overline{A}$ - промах
в данном случае одно попадание тоже что и два промаха

$P(A)=P(A_1 \overline{ A_2} \overline{A_3})+P(\overline{A_1} A_2 \overline{A_3})+P(\overline{A_1}\overline{ A_2} A_3)=0.6 \cdot 0.3 \cdot 0.1 +0.4 \cdot 0.7 \cdot 0.1+0.4 \cdot 0.3 \cdot 0.9=0.154$

6) Имеются три одинаковые на вид урны с шарами: в первой урне - 3 белых и 4 черных, во второй - 2 белых и 2 черных, в третьей 3 белых и 1 черный. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар оказался белым.

Гипотезы $H_1, H_2, H_3$ выбор первой, второй, третьей урны соответственно
событие А - появление белого шара
$P(H_1)=P(H_2)=P(H_3)=\frac{1}{3}$

$P(A|H_1)= \frac{3}{7}$

$P(A|H_2)= \frac{1}{2}$

$P(A|H_3)= \frac{3}{4}$

$P(A)=\frac{1}{3} (\frac{3}{7} +\frac{1}{2}+ \frac{3}{4})=\frac{1}{3} \cdot\frac{47}{28}=\frac{47}{84}$

Я правильно решил?

[gris]

По-моему, правильно.
Я тоже думаю, что в задаче 5 спрашивается о ровно двух промахах.

[Sverest]

7) Шар радиуса $r=2$ см наудачу бросают в круг радиуса $R=25$ см, в котором вырезано квадратное отверстие со стороной $a=14 $см. Какова вероятность того, что шар пройдет через отверстие, не задев его края, если он непременно попадет в круг? Центры квадрата и круга совпадают.

Геометрическая вероятность попадания точки в область находящуюся внутри другой области- это отношение площади области находящейся внутри другой области, к площади этой другой области

так как мы бросаем не точку, а шар то надо из областей отнять величину площади сечения шара в его самой широком месте, правильно я понимаю?

[Shadow]

Вторая задача:
А расположение оспортм не считается?

[Sverest]

Shadow в сообщении #495253 писал(а):

Вторая задача:
А расположение оспортм не считается?

думаю, что это просто неточность в условии, тогда же будет считаться и (ом)спорт и (мо)спорт и спорт(мо)

хотя, может и считается, и как при таком условии посчитать?
можно 2 лишние буквы считать за 2 из 2-х
то есть домножить на $\frac{2}{2}$?

[gris]

О, по второй задаче тоже в условии непонятка. Стандарно в этом типе задач предполагается, что вынимается только 5 кубиков. Но вдруг все семь? Правда, тогда непонятно, что означают слова "прочитать слово".
По задаче с шаром. Надо найти отношение площадей фигур, куда попадает центр шара при А) незадевании границ квадрата; В) незадевании границ круга ( по условию шар попадает в круг целиком). Лучше это дело нарисовать. Но там не вычитается площадь сечения.

[Shadow]

спортом
спортмо
Вы учли только эти две. Еще
оспортм
мспорто
омспорт
моспорт

Не сказано чтобы начиналось со словом "спорт". А "можно прочесть"

[gris]

Ну тогда уж и осмпорт. В каждом случае нетрудно посчитать, но задача теряет всякий смысл. Я думаю, стоит ограничится вытаскиванием пяти кубиков. Прочитать можно и задом наперёд.

[Shadow]

(Оффтоп)

Да вообще задача....я сначала недоумевал как написать на граней куба 7 букв. Потом понял что на всех гранях одна буква (а зачем тогда в мешке кубики, а не просто буквы). Потом это. Что имел в виду автор можно только гадать.

[gris]

На самом деле задача про буквы постоянно встречается в самом начале курса ТВ. Там вся фишка не в способе прочтения, а в том, что некоторые буквы повторяются как в слове, так и в наборе букв. И учащийся должен это учитывать. Ну и условная вероятность раскрывается, хотя при желании подобную задачу можно решить комбинаторным способом.

[Sverest]

Станок обрабатывает 3 вида деталей, причем все его время распределяется
между ними в отношении 1:5:4. При обработке детали 1-го вида он работает с максимальной для него нагрузкой в течении 70% времени, при обработке детали 2-го вида в течении 50% и 3 -го в течении 20% времени. В случайно выбранный момент станок работал с максимальной нагрузкой. Определить вероятность того, что он в это время обрабатывал деталь 2-го вида

Гипотеза $H_i$ - обрабатывается деталь $i$-го вида

$P(H_1)=0.1,~ P(H_2)=0.5,~ P(H_3)=0.4$
А- работа с максимальной нагрузкой

$P(A|H_1)=0.7, ~P(A|H_2)=0.5~, P(A|H_3)=0.2$

$P(A)=0.1 \cdot 0.7 +0.5 \cdot 0.5 +0.4 \cdot 0.2 =0.4$

$P(H_2 |A)=\frac{P(H_2) P(A|H_2)}{P(A)}=\frac{0.5 \cdot 0.5 }{0.4}=0.625$

Правильно?

[Shadow]

Правильно

[Sverest]

По задаче с шаром:

Цитата:

Шар радиуса $r=2$ см наудачу бросают в круг радиуса $R=25$ см, в котором вырезано квадратное отверстие со стороной $a=14 $см. Какова вероятность того, что шар пройдет через отверстие, не задев его края, если он непременно попадет в круг? Центры квадрата и круга совпадают.

шар не заденет границы квадрата если его центр попадет в квадрат со стороной 10 см (14-2-2) находящийся внутри квадрата со стороной 14 см, центры квадратов совпадают.

площадь этого квадрата $=10^2=100$
площадь круга $=3,14 \cdot 25^2=1962.5$

вероятность того что шар пройдет через квадратное отверстие не задев его края $=\frac{10}{1962.5}=0.005$

Правильно решил?

[Maslov]

По-моему, нолик в числителе потеряли.

-- Пн окт 24, 2011 13:50:17 --

И не совсем понятно, что значит "шарик попадет в круг". Например, если шарик касается круга во внутренней точке, расположенной в 1 см от границы (другими словами, некоторая часть шарика оказывается за кругом), это попал или не попал?

[Sverest]

Цитата:

По-моему, нолик в числителе потеряли.

Ой! Спасибо!

вероятность того что шар пройдет через квадратное отверстие не задев его края $=\frac{100}{1962.5}=0.05$

-- Пн окт 24, 2011 12:53:45 --

Maslov в сообщении #495603 писал(а):

И не совсем понятно, что значит "шарик попадет в круг". Например, если шарик касается круга во внутренней точке, расположенной в 1 см от границы (другими словами, некоторая часть шарика оказывается за кругом), это попал или не попал?

Нет скорее всего, тогда же придется считать много раз площадь, для каждого случая