парадокс рычага (СТО)

[A-u-uuu]

Парадокс рычага.
В ИСО рычага на плечи равной длинны действуют равные силы, момент импульса компенсирован $M=F_x L_y - F_y L_x = 0$
В движущейся по оси $x$ ИСО' плечи не равны в результате Лоренцева сокращения.
Т.к. представляется невероятным, чтобы рычаг вращался, остается предположить, что существует сила (Лоренца ?), которая действует против силы $F_{x}$ и не действует против силы $F_y$ (или наоборот, помогает силе $F_y$, не взаимодействуя с $F_x$) уравновешивая их.
Эта сила $F_l$ не может быть внешней по отношению к ИСО, иначе она тормозила бы ЦМ системы (что противоречит ИСО).
Значит $F_l$ внутренняя. Тогда где источник этой силы ?

Чтобы не спекулировать на природе сил $F_x,F_y$, будем считать, что в ИСО на равном расстоянии от плеч рычага расположен покоящийся источник света. В ИСО', естественно, источник света движется и находится ближе к плечу коллинеарному оси $x$.
Свяжем начала отсчета ИСО и ИСО' с событием, когда источник света начал испускать свет. Очевидно, что в ИСО свет достигнет, одновременно, плеч рычага и окажет на них равное давление. Очевидно, так же, что с точки зрения ИСО' свет сначала начнет давить на плечо, коллинеарное оси $y$ (плечо $a$). Ему придется постоянно догонять плечо $a$, длинна волны его должна увеличится из-за эффекта Доплера, а частота сократится до $\omega=\omega_0 \frac {\sqrt {1-v^2/c^2}}{1+v/c \cos \alpha}$, переносимая энергия уменьшится до $E=\hbar \omega$. Спустя небольшой промежуток времени $\Delta t$ свет достигнет плеча коллинеарного оси $x$ (плечо $b$) и начнет переносить энергию $E=\hbar \omega_0$.
Таким образом, с точки зрения ИСО' импульс приданный плечу $a$ за время $\Delta t$ заставит рычаг повернуться на небольшой (пренебрежимо малый) угол в плоскости $xy$, до того, как последует импульс на плечо $b$. Поворот на тот же угол должен коснуться и плеча $b$.
Сила, производимая давлением света на плечи пропорциональна площади их поверхности. В результате Лоренцева сокращения площадь плеча $b$ сократилась до $L_x \sqrt {1-v^2/c^2}$, соответственно, сила $F_y$ уменьшилась на тот же множитель.
С другой стороны, площадь плеча $a$ не изменилась, но в результате сокращения частоты сила $F_x$ уменьшилась на множитель $\frac {\sqrt {1-v^2/c^2}}{1+v/c \cos \alpha}$.
Т.к. темп времени в любой ИСО постоянен, чтобы момент сил оставался скомпенсирован, необходимо $F_x L_y = F_y L_x$.
Предположим силы и длинны плеч в ИСО единичны $F_x=F_y=1, L_x=L_y=1$ и рассмотрим множители уменьшающие силы: $\sqrt {1-v^2/c^2} L_x = \frac {\sqrt {1-v^2/c^2}}{1+v/c \cos \alpha} L_y$.
Из чего следует, что $1+v/c \cos \alpha=1$, а значит $\frac{v}{c} \cos \alpha=0$. Либо скорость системы должа меняться, либо она должна менять направление движения.
Если предположить, что для компенсации сил, плечо $a$ должно изогнуться в точке сочленения с плечом $b$ на угол $\alpha$ все равно получается, в ИСО' при равенстве сил должен наблюдаться изгиб плеча $a$ (но тогда момент сил не скомпенсирован по правилу рычага). Если же изгиб плеча не наблюдается, силы, действующие на плечи не скомпенсированы (см. множитель Доплера).

Как разрешается этот парадокс ?

[EvilPhysicist]

Мне вот интересно, нельзя ли всё вышенаписанное изложить кратко?
По схеме: имеем ситуацию А, из неё получаем В, из неё же получаем С. В противоречит С потому, что D.

[Someone]

Лично мне все эти рассуждения с рычагами и моментами, основанные на закономерностях, установленных для неподвижных абсолютно твёрдых рычагов, кажутся весьма подозрительными. В СТО не бывает "абсолютно твёрдых" тел, задачу нужно рассматривать в "непрерывной" постановке, рассматривая распространение взаимодействий вдоль рычага, и т.п..
Парадокс рычага рассматривается, например, в статье Я.А.Смородинского и В.А.Угарова "Два парадокса специальной теории относительности (Эйнштейновский сборник. 1972. "Наука", Москва, 1974).

[A-u-uuu]

Ситуация $A$ - в ИСО рычаг, плечи равны, сила на плечи равны, ось закреплена на рабочей платформе, силу создает давление света от источника жестко закрепленного на платформе.
Ситуация $B$ в ИСО' длинна (и площадь) одного рычага уменьшилась на Лоренцев множитель, соответсвенно на эту же величину уменьшилось давление и сила, оказываемая на этот рычаг светом. На второй рычаг сила уменьшилась на множитель Доплера.
Вывод $C$ для компенсации момента эти множители должны быть равны.
Противоречие наблюдается в множителе Доплера, согласно которму, либо скорость и направление ЦМ ИСО должны меняться (что противоречит условию об ИСО), либо рычаг должен вращаться (т.к. момент оказывается нескомпенсирован).

[EEater]

Сила не является инвариантом, как и любой 3-вектор. В частности, $F'_y \neq F_y$.

[A-u-uuu]

Someone в сообщении #495479 писал(а):

Лично мне все эти рассуждения с рычагами и моментами, основанные на закономерностях, установленных для неподвижных абсолютно твёрдых рычагов, кажутся весьма подозрительными. В СТО не бывает "абсолютно твёрдых" тел, задачу нужно рассматривать в "непрерывной" постановке, рассматривая распространение взаимодействий вдоль рычага, и т.п..
Парадокс рычага рассматривается, например, в статье Я.А.Смородинского и В.А.Угарова "Два парадокса специальной теории относительности (Эйнштейновский сборник. 1972. "Наука", Москва, 1974).

Спасибо за ссылку, но мне вот эти "рассуждения" ("в СТО не бывает "абсолютно твёрдых" тел") тоже кажутся весьма подозрительными и, само собой, не не способствующими пониманию и большей ясности.
Не обязатльно рассматривать непрерывный поток света, рассмотрим единичную вспышку (последовательность вспышек через продолжительные промежутки времени) и укажем где возникли напряжения, препятствующие повотору рычага.

-- 23.10.2011, 22:33 --

EEater в сообщении #495483 писал(а):

Сила не является инвариантом, как и любой 3-вектор. В частности, $F'_y \neq F_y$.

Это неизбежно, иначе в ИСО' рычаг начал бы вращаться, что есть абсрд. Значит есть противодействующий 3-вектор. Ясно, что его источник - внутренний (локальный) для системы, иначе система не ИСО.

[Someone]

A-u-uuu в сообщении #495486 писал(а):

мне вот эти "рассуждения" ("в СТО не бывает "абсолютно твёрдых" тел") тоже кажутся весьма подозрительными

В СТО действительно невозможны абсолютно твёрдые тела, так как в таких телах взаимодействие происходит с бесконечной скоростью. Всякие "правила рычага" действительно установлены для неподвижных рычагов и их обобщение на случай движущихся с релятивистскими скоростями рычагов не очевидно. На основании чего Вы считаете, что для движущихся рычагов всё должно быть точно так же, как для неподвижных?

[Munin]

A-u-uuu в сообщении #495482 писал(а):

На второй рычаг сила уменьшилась на множитель Доплера.

Здесь ошибка. Эффект Доплера - не только в изменении частоты. Меняется и интенсивность (легко понять, если сообразить, что полное количество фотонов инвариантно, а при изменении частоты фотона меняется и его энергия). Так что окончательный множитель получается другой (вычислить его, не прибегая к фотонам, - хорошее упражнение).

A-u-uuu в сообщении #495486 писал(а):

Спасибо за ссылку, но мне вот эти "рассуждения" ("в СТО не бывает "абсолютно твёрдых" тел") тоже кажутся весьма подозрительными и, само собой, не не способствующими пониманию и большей ясности.

Это от незнания СТО. Пройдёт со временем.

[A-u-uuu]

В последнем абзаце рассматриваются два пространственно разделенных события. В этом случае, включение одной и другой силы (приход света к плечам рычага), одновременное в $K^0$, не может быть одновременным в $K$, о чем я и писал. Несмотря на то, что наблюдатели в $K$ зафиксируют равные показания часов системы $K^0$ в точках приложения силы, показания часов самой системы $K$ в этих точках будут разными.
Следует ли из этого: "следовательно тело должно прийти в движение" ? Очевидно, нет, по крайне мере, не относительно $K$, иначе одна из систем перестанет быть инерционной.

У меня появились другие вопросы.
Выделенное красным, насколько я понимаю, верно и в обратную сторону: четырехмерное векторное обобщение не может быть, однозначно, разложено на трехмерное произведение векторов ?

Рассмотрим систему тел. Лабораторную СО свяжем с любым из них и экспериментально установим равномерность и прямолинейность движения всех тел в системе, и неизменность расстояния между ними, т.е. инерциальность. Предположим, эта система тел находилась в пространстве с постоянной нулевой кривизной (неважно Евклидовом или псевдоевклидовом), а затем все пространство мгновенно (во всех точках) изменило кривизну и теперь стало пространством с постоянной, но не нулевой кривизной. Можно ли находясь внутри системы, что называется, найти десять отличий ?

Выше я обосновывал, почему силы, препятствующие повороту рычага (или вызывающие сокращение) с точки зрения ИСО' внутренние - тем, что иначе, с точки зрения ИСО', они тормозили бы ИСО. Теперь у меня появилось другое возможное объяснение, что эти силы действуют мгновенно и на ИСО и на ИСО' (например, связаны с изменением величины постоянной кривизны всего пространства-времени), поэтому относительно ИСО их обнаружить невозможно. Недостатком является дальнодействие, но, похоже, передать информацию таким способом все равно не возможно.

[Munin]

A-u-uuu в сообщении #495728 писал(а):

Выделенное красным, насколько я понимаю, верно и в обратную сторону: четырехмерное векторное обобщение не может быть, однозначно, разложено на трехмерное произведение векторов ?

Нет.

A-u-uuu в сообщении #495728 писал(а):

Предположим, эта система тел находилась в пространстве с постоянной нулевой кривизной (неважно Евклидовом или псевдоевклидовом), а затем все пространство мгновенно (во всех точках) изменило кривизну и теперь стало пространством с постоянной, но не нулевой кривизной.

Предположить такое нельзя.

A-u-uuu в сообщении #495728 писал(а):

Теперь у меня появилось другое возможное объяснение, что эти силы действуют мгновенно и на ИСО и на ИСО'

Система отсчёта - не тело, и силы на него не действуют.

[A-u-uuu]

Посмотрим внимательней на остроумный способ разрешения парадокса, предложенный Лауэ:
Итак, Лауэ, считает, что масса одного из плеч рычага растет со временем, чтобы компенсировать момент импульса.
Раз растет масса одного из плеч рычага, значит растет и масса всего рычага.
Почему же двигаясь инерционно, система $K^0$ не изменяет своей скорости относительно инерциальной системы $K$ (масса которой неизменна) ?
Такое возможно только если обе системы находятся в однородном гравитационном поле, в котором воздействующая на обе системы (тела) сила придает им равное ускорение не зависимо от их масс.
По сути Лауэ утверждает, что сила Лоренца есть сила инерции ?

[Munin]

A-u-uuu в сообщении #495868 писал(а):

Посмотрим внимательней на остроумный способ разрешения парадокса

Перестаньте ерундой заниматься. Набросайте полноценный 4-мерный расчёт.

[Mentat]

Зачем в первом посте вводится источник света? Он какбы не нужен, и немного загромождает здачу.

[Munin]

Видимо, для инвариантного задания источника силы.

[obar]

Munin в сообщении #495918 писал(а):

Перестаньте ерундой заниматься. Набросайте полноценный 4-мерный расчёт.

Munin, не могли бы вы набросать этот полноценный 4-мерный расчёт? Очень буду признателен.