Выразить исходную операцию через скобку Ли (коммутатор)

[ellipse]

Если в ассоциативной алгебре $A$ ввести новую мультипликативную операцию $[a,b]=a\cdot b-b\cdot a$, называемую скобкой Ли или коммутатором, тогда относительно этой мультипликативной операции она будет алгеброй Ли, то есть будет удовлетворять условиям:
1) $\forall a\in A\ [a,a]=0 $
2) $\forall a,b,c \in A\ [a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0 $ (тождество Якоби)

Скорее всего, не все алгебры Ли можно так получить.
Какое дополнительное условие должно выполняться в алгебре Ли, чтобы она порождалась таким образом из ассоциативной алгебры?
Если такое представление возможно, как выразить исходную ассоциативную операцию $\cdot$ через операцию $[,]$ в алгебре Ли?

[Oleg Zubelevich]

Poincare-Birkhoff-Witt Theorem ?

[Padawan]

Теорема Адо говорит, что любая (конечномерная) алгебра Ли может быть как матричная алгебра Ли представлена.

[Leox]

ellipse в сообщении #495120 писал(а):

Если такое представление возможно, как выразить исходную ассоциативную операцию $\cdot$ через операцию $[,]$ в алгебре Ли?

Возможно, здесь поможет формула Кембелла-Хаусдорфа.