Всюду плотное множество {sin(n^2), n - натуральное}

[xmaister]

Помогите доказать, что множество $\{\sin n^2|n\in\mathbb{N}\}$ всюду плотно на $[-1,1]$

[nnosipov]

Посмотрите post478912.html#p478912 Легко можно доказать только то, что эта последовательность имеет бесконечно много предельных точек.

[xmaister]

nnosipov в сообщении #494553 писал(а):

Легко можно доказать только то, что эта последовательность имеет бесконечно много предельных точек.

Но из этого не следует, что оно всюду плотно?

[nnosipov]

xmaister в сообщении #494576 писал(а):

Но из этого не следует, что оно всюду плотно?

Конечно, не следует. Это более сложный факт.

[xmaister]

nnosipov, не могли бы Вы посоветовать литературу, где это утверждение доказыватся?

Разве нельзя сказать, что $\gamma n^2\mod1$ сколь угодно близко приближается к $0$ или $1$, если $\gamma$- иррациональное?

[nnosipov]

Oleg Zubelevich, последнее неравенство поясните. (А, оно уже исчезло.)

-- Сб окт 22, 2011 20:10:22 --

xmaister, мне кажется, что я видел это в книге: Кейперс Л., Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей. М.: Наука, 1985.

[Хорхе]

xmaister в сообщении #494805 писал(а):

Разве нельзя сказать, что $\gamma n^2\mod1$ сколь угодно близко приближается к $0$ или $1$, если $\gamma$- иррациональное?

Нет, нельзя. Вот Вам упражнение: докажите, что это утверждение неправильно при $\gamma=\sqrt 2$.
Да, так сказать можно.

[xmaister]

nnosipov
Правильно ли я понял, что для доказательство всюду плотности достаточно доказать, что последовательность $\frac{n^2}{2\pi}$ равномерно распределена по модулю 1?

[nnosipov]

xmaister в сообщении #495302 писал(а):

Правильно ли я понял, что для доказательство всюду плотности достаточно доказать, что последовательность $\frac{n^2}{2\pi}$ равномерно распределена по модулю 1?

Да, правильно поняли. Не знаю, можно ли как-нибудь по другому установить эту всюду плотность.

[Padawan]

В Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. — Лекции по математическому анализу есть параграф про равномерно распределённые последовательности. Среди прочего там доказано, что значения многочлена $P(n)$ с иррациональным старшим коэффициентом равномерно распределены на отрезке $[0,1]$.