Вычислить интеграл, дифференцируя по параметру

[AKM]

Anexroid в сообщении #494227 писал(а):

Ну, продифференцировав по $\alpha$ получаем $\frac {1} {\sqrt{1-x^2} (\alpha^2x^2 + 1)}$ И что дальше?

$$\frac{dI(\alpha)}{d\alpha}=\int_0^1 \frac {dx} {\sqrt{1-x^2} (\alpha^2x^2 + 1)}\stackrel{\text{никак}} {\not=}\frac {1} {\sqrt{1-x^2} (\alpha^2x^2 + 1)}$$

[SpBTimes]

Anexroid
всё верно у вас, люди небось придираются, что вы интеграл не написали. Докажите равномерную сходимость получившегося интеграла. А потом вычислите его

[Anexroid]

Ну да, я и не говорил, что это решение, я лишь продифференцировал по параметру.

Далее,

$$\frac {1} {\sqrt{1 - x^2}(\alpha^2x^2 + 1)} < \frac {1} {\sqrt{1 - x^2}}$$

Верно?
Если так, то мы нашли мажорирующую функцию, интеграл от которой на [0, 1] сходится равномерно => наш интеграл тоже сходится равномерно. Ну а дальше считаем интеграл.

Или я где то ошибся в рассуждениях?

[SpBTimes]

верно

[Anexroid]

Меня просто смущает что в функции остался $\alpha$, т.е его считать просто за константу?

[ИСН]

В какой такой функции?

[Anexroid]

В производной.
Мы продифференцировали исходную подинтегральную функцию по $\alpha$, показали что производная (1) сходится равномерно. Значит наш исходный интеграл равен интегралу от (1).

Хотя... Интеграл исходный же у нас $I(\alpha)$... Значит $\alpha$ должен остаться...

[AKM]

Anexroid в сообщении #494906 писал(а):

Интеграл исходный же у нас $I(\alpha)$... Значит $\alpha$ должен остаться...

Альфа должна остаться не потому, что я, редактируя Ваши формулы, нагло вписал туда $I(\alpha)$, которого в оригинале не было. Альфа должна остаться потому, что результат интегрирования, значение интеграла в исходной задаче реально зависит от этой самой альфы: возьмём $\alpha=5$ - одно значение получим, возьмём $\alpha=-2$ - другое.

Anexroid в сообщении #494294 писал(а):

Ну а дальше считаем интеграл.

Но Этого-то Вы и не сделали. Или нам не показали. Т.е., не сделали, коли сейчас удивляетесь.

-- 21 окт 2011, 23:02 --

Ха, скорее всего Вы ту мажорирующую функцию проинтегрировали, и ручки сложили. Но это же неверно: она служебную роль играла. Помажорировала - и вали отсюда. Дальше честный интеграл надо сосчитать.

-- 21 окт 2011, 23:06 --

Подсказка была.

[Anexroid]

Нет, не мажорирующую =)

Просто сейчас немного не до этой задачи, буду с ней на выходных разбираться