Вычислить интеграл, дифференцируя по параметру

[Anexroid]

$$I(\alpha)=\int \limits_{0}^{1} \frac {\arctg (\alpha x)} { x\sqrt{1 - x^2}}dx$$

Необходимо вычислить интеграл, дифференцируя его по параметру $\alpha$ с обоснованием всех предельных переходов и т.д.

Не могу понять, с чего вообще начать. Сначала необходимо доказать, что мы вообще можем дифференцировать по параметру. Для этого, как я понимаю, надо доказать что подинтегральная функция непрерывна и непрерывна частная производная этой функции, верно?

[AKM]

Ваше потрясающее \surd\overline{1 - x^2} кодируется просто как \sqrt{1-x^2}. (Ещё бывает \sqrt[3]{1-x^2} ).

В интегралах я плохо разбираюсь, но сначала (убедившись в его беручести) я бы поспешил продифференцировать по параметру, и посмотрел бы, что получается. Возможно, Вы это уже проделали. А мудрить про непрерывности не стал бы. А в беручести легко убедиться, и слева, и справа.

Впрочем, про это Вам спецы получше отсоветуют. Я лишь советую палочку ставить перед arctg (\arctg, \sin, \ln и проч.)

[Padawan]

Для законности дифференцирования по параметру достаточно, чтобы продифференцированный интеграл равномерно сходился в окрестности того значения параметра, при котором мы дифференцируем.

[Anexroid]

Так мы же не подставляем значение параметра, какая окрестность?

[ИСН]

"Вот эта". Вы дифференцировать-то зачем намереваетесь? Чтобы на костылях производной куда-то дойти, так?

[AKM]

Просто у Вас, видимо, случай очень простой, когда при любом альфа всё хорошо (одинаково хорошо), и о конкретных (особых) значениях и их окрестностях задумываться не приходится. А было бы там с альфой что-то вроде...

[Anexroid]

Ну, продифференцировав по $\alpha$ получаем $\frac {1} {\sqrt{1-x^2} (\alpha^2x^2 + 1)}$ И что дальше?

[ИСН]

$x=\sin t$...

[AKM]

Неправильно продифференцировано.

-- 19 окт 2011, 21:40 --

Это, может, производная подынтегрального выражения, но никак не искомой функции.

[Anexroid]

Да, это производная подинтегральной функции. А как получить нужную? Что я делаю не так?

[AKM]

Ваша искомая функция функция зависит только от альфы (я сейчас ещё раз поправлю Ваш первый пост, вставлю $I(\alpha)=\ldots$). А то, что Вы написали, зависит и от икса, и от альфы. Акт интегрирования потерян.

[SpBTimes]

Anexroid
А куда икс из знаменателя делся? И альфа в числителе должны быть

[AKM]

У меня тот икс тоже сократился. Блин, ужели я и дифференцировать разучился?

[SpBTimes]

AKM
оой, это я говорю одно, делаю другое, пардон.

[Anexroid]

Вот я и не могу понять что именно нужно дифференцировать, т.к если дифференцировать подинтегральную функцию - мой ответ верен.