2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Треугольник Герона со сторонами-квадратами
Сообщение21.10.2011, 20:10 


21/10/11
3
Существует ли треугольник Герона, все стороны которого являются квадратами? Прямоугольных треугольников с таким условием не существует, и это легко доказать. А вот для тр-ков Герона (более общий случай) решения я не нашел. Метод "дурного перебора" на компе не дал результатов. Надеюсь, что кто-нибудь подскажет решение этой задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Герона со сторонами-квадратами
Сообщение21.10.2011, 21:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Если не глючу, то тысячи их. Сейчас напишу.

-- Пт окт 21, 2011 23:05:04 --

Пока только с отрицательной площадью получаются :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Герона со сторонами-квадратами
Сообщение21.10.2011, 22:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Не, чего-то не получается :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Герона со сторонами-квадратами
Сообщение24.10.2011, 21:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
edward в сообщении #494877 писал(а):
Прямоугольных треугольников с таким условием не существует, и это легко доказать.

БТФ? :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Герона со сторонами-квадратами
Сообщение25.10.2011, 12:21 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Ну это сильно частный случай же :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Герона со сторонами-квадратами
Сообщение26.10.2011, 17:39 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Замечу, что в пифагоровых треугольниках даже две стороны не могут быть квадратами.
Поэтому резонно сначала выяснить насчет двух сторон в произвольных героновых треугольниках.
Возьмем натуральные $m\ne{n}$. $a,b,c,S$ - длины сторон и площадь в героновом треугольнике.
Положим $a=(m^2+n^2)^2$,$b=(m^2+n^2)^2$,$c=2|m^4+n^4-6{m^2}{n^2}|$,. Тогда $S=4mn|(m^2-n^2)(m^4+n^4-6{m^2}{n^2})|$ и получившийся равнобедренный треугольник действительно Геронов с двумя сторонами квадратами.
Можно еще так:$a=(m^2+n^2)^2$,$b=(m^2+n^2)^2$,$c=8|mn(m^2-n^2)|$ и та же площадь $S$.
И в первом и во втором случае $c$ не может быть квадратом, поскольку является в обоих случаях удвоенным конгруэнтным числом.
Теперь бы интересно написать формулы, дающие две неравные стороны-квадраты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Герона со сторонами-квадратами
Сообщение27.10.2011, 19:04 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Формулы для геронова треугольника с хотя бы двумя сторонами-квадратами можно написать следующим образом.
Возьмем любой пифагоров треугольник с длинами сторон $a,b,c$ и $a^2+b^2=c^2$
Длины сторон искомого геронова треугольника $A=(c^4+4a^2b^2)^2$, $B=4c^4(a^2-b^2)^2$,
$C=4c^2(a^2-b^2)^3+|16a^2b^2c^4-(a^2-b^2)^4|$ и длина высоты, опущенной на $C$, есть
$H=8abc^2(a^2-b^2)^2$.
Уже из треугольника $(3,4,5)$ получается $A=1442401,B=122500,C=1471899$.
Совершенно не исключено, что $C$ может быть квадратом.
Очевидных причин для запрета этого, кажется, нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Герона со сторонами-квадратами
Сообщение27.10.2011, 19:19 


21/10/11
3
"резонно сначала выяснить насчет двух сторон в произвольных героновых треугольниках."

Тр-ков Герона, имеющих две стороны-квадрата, бесконечно много:
16*25*39, 64*225*287, 100*289*291 и т.д.
Даже если найти формулу для таких тр-в, она не решает проблему.

"Совершенно не исключено, что С может быть квадратом.
Очевидных причин для запрета этого, кажется, нет."

Однако, машина не может найти такие тр-ки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Герона со сторонами-квадратами
Сообщение28.10.2011, 11:37 


25/08/11
3
Москва
Интересный треугольник получается! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Герона со сторонами-квадратами
Сообщение28.10.2011, 19:24 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Переходя от двух сторон к трем, хочу сообщить, что этот вопрос пока открыт, см. например,
http://math.ca/crux/v27/n1/page22-26.pdf. Так что (если верить автору статьи) есть ли три квадрата, нет ли трех квадратов, это науке еще неизвестно.
Кстати, та параметризация (одна из многих возможных), которую я написал в последнем сообщении и которая гарантирует две стороны-квадрата для бесконечного множества не обязательно подобных треугольников, основана на удвоении точек эллиптических кривых. И при большом желании можно попытаться найти условия, если очень повезет, при которых $C$ будет квадратом.
Или уж напрямую решать в натуральных числах уравнение $(x^2+y^2+z^2)(x^2+y^2-z^2)(x^2+z^2-y^2)(y^2+z^2-x^2)=16S^2$ при $x^2+y^2>z^2$, $y^2+z^2>x^2$, $x^2+z^2>y^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Герона со сторонами-квадратами
Сообщение29.10.2011, 12:23 


21/10/11
3
scwec в сообщении #496893 писал(а):
Переходя от двух сторон к трем, хочу сообщить, что этот вопрос пока открыт, см. например,
http://math.ca/crux/v27/n1/page22-26.pdf. Так что (если верить автору статьи) есть ли три квадрата, нет ли трех квадратов, это науке еще неизвестно.


Казалось бы, о треугольниках известно всё. А на такой простой вопрос ответа нет. Значит, мы ещё многие элементарные вещи не знаем.
Предлагаю решить поставленную проблему на этом форуме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Герона со сторонами-квадратами
Сообщение29.10.2011, 18:40 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Ответ на вопрос о трех квадратах, видимо, на самом деле не прост и совсем не элементарен.
Со своей стороны, если наткнусь на решение, обязательно сообщу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Герона со сторонами-квадратами
Сообщение31.01.2015, 19:16 


05/02/07
271
edward в сообщении #497047 писал(а):
scwec в сообщении #496893 писал(а):
Переходя от двух сторон к трем, хочу сообщить, что этот вопрос пока открыт, см. например,
http://math.ca/crux/v27/n1/page22-26.pdf. Так что (если верить автору статьи) есть ли три квадрата, нет ли трех квадратов, это науке еще неизвестно.

Казалось бы, о треугольниках известно всё. А на такой простой вопрос ответа нет. Значит, мы ещё многие элементарные вещи не знаем.
Предлагаю решить поставленную проблему на этом форуме.

Существует много целочисленных треугольников, у которых все стороны - квадраты целых чисел, но площадь - нецелое. Например,
$a=125^2, b= 244^2, c=267^2$. При этом
$p=25 \cdot 29 \cdot 101$, $p-a=240^2$, $p-b=117^2$, $p-c=44^2$. Следовательно,
$S=\sqrt{p(p-a) (p-b) (p-c)}= 30888000\sqrt{29 \cdot 101}$
Целочисленными треугольниками, у которых все стороны - квадраты целых чисел, но площадь - нецелое, будут следующие треугольники:
$ (157^2, 725^2, 732^2) $;
(500^2, 707^2, 843^2) $;
(281^2, 808^2, 825^2) $;
(348^2, 365^2, 373^2) $.
У этих треугольников $p-a, p-b, p-c$ будут квадратами целых чисел, а полупериметр $p$ нет.

Мое мнение - эта проблема очень трудная, и она, наверно, потребует привлечения сложного мат. аппарата, например, теории эллиптических кривых. :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Герона со сторонами-квадратами
Сообщение04.02.2015, 07:58 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Вот пример:
http://srv2.jpg.co.il/2/54d08d87a5f26.jpg

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Герона со сторонами-квадратами
Сообщение08.02.2015, 14:34 


05/02/07
271
arqady в сообщении #973372 писал(а):

Из формулы Герона для площади треугольника имеем диофантово уравнение
$16S^2 = (a^2+b^2+c^2)^2+2(a^4+b^4+c^4).$

Если стороны - квадраты ($a=x^2, b=y^2, c=z^2$), то имеем диофантово уравнение
$16S^2 = (x^4+y^4+z^4)^2+2(x^8+y^8+z^8).$ (1)

Пример выше показывает, что диофантово уравнение (1) имеет хотя бы одно положительное решение. Наверно должны быть ещё положительные решения? Это одно положительное решение какое-то несуразное.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group