Замечу, что в пифагоровых треугольниках даже две стороны не могут быть квадратами.
Поэтому резонно сначала выяснить насчет двух сторон в произвольных героновых треугольниках.
Возьмем натуральные

.

- длины сторон и площадь в героновом треугольнике.
Положим

,

,

,

и получившийся равнобедренный треугольник действительно Геронов с двумя сторонами квадратами.
Можно еще так:

,

,

и та же площадь

.
И в первом и во втором случае

не может быть квадратом, поскольку является в обоих случаях удвоенным конгруэнтным числом.
Теперь бы интересно написать формулы, дающие две неравные стороны-квадраты.