Асимптотика суммы

[Portobello]

Прошу подсказать, правильно ли решена задача по поиску асимптотики для суммы

$$\sum\limits_{k = 2}^m {\frac{1}{{\ln (k!)}}} = \sum\limits_{k = 2}^m {\frac{1}{{k \cdot \ln (k) + o(k \cdot \ln (k))}}} \sim \ln (\ln (m))$$

(Так как $\sum\limits_{k = 2}^m {\frac{1}{{k \cdot \ln (k)}}} \sim \ln (\ln (m))$.)

$m$ здесь, конечно, стремится к плюс бесконечности.

Или я сильно резво все это проделал?

[Padawan]

Правильно. Теорема Штольца в помощь. А вот как остальные члены асимптотики найти, надо подумать.

[Sonic86]

По-моему, тоже нормально проделали. И вроде даже $o()$ писать не надо: если $f \sim g$, то $\sum f \sim \sum g$, $\int f \sim \int g$

Можно предположить правую часть в общем виде (если можете). Вычислить ее разность, приравнять коэффициенты...

Ну можно точнее:
$\ln k! = k \ln k - k + \ln k + O(1)$
$\frac{1}{\ln k!} = \frac{1}{k \ln k - k + \ln k + O(1)}=\frac{1}{k \ln k} \cdot \frac{1}{1- \frac{1}{\ln k} + \frac{1}{k} + O(\frac{1}{k \ln k})}$, 2-й множитель нужно разложить в ряд, а затем пользоваться тем, что $\sum \frac{f(k)}{k} = \int \frac{f(x)}{x}dx + O(x^{-2}g(x))$, где $f$ должна расти или падать не быстрее степени логарифма (и тогда $g$ такая же)
Можно даже в знаменателе 2-й дроби сразу $\frac{1}{k}$ отбросить, т.к. без изменения базиса асимптотику точнее чем $O(\ln ^{-a} m)$ Вам уже не найти

[Portobello]

Спасибо большое!