Предел (без использования правила Лопиталя)

[Shadow]

Скажите пожауйста, корректно ли такое решение:
Найдти без изпользование правило Лопиталя предел
$\displaystyle \lim \limits_{x\to 0}(\frac 1 x -\frac 1 {\sin x}) $

Решение
$\sin x<x<\tg x$ при $x \in (0;\frac{\pi}{2})$

$\displaystyle\frac 1{\sin x}>\frac 1 x>\frac {\cos x} {\sin x}$

$\displaystyle\frac 1{\sin x}-\frac 1{\sin x}>\frac 1 x-\frac 1{\sin x}>\frac {\cos x-1} {\sin x}$

$\displaystyle 0>\frac 1 x-\frac 1{\sin x}>-\tg{\frac x 2}$

Согласно теореме сжатия
$\displaystyle \lim \limits_{x\to 0}(\frac 1 x -\frac 1 {\sin x})=0$

[AlexValk]

Вполне корректно.

[bot]

Вполне - формально осталось ещё $x\to -0$, что в силу нечётности можно пропустить.

[Shadow]

Спасибо.

[xmaister]

(Ещё 1 возможный вариант)

Я думаю что можно $\frac1{\sin x}$ разложить в ряд Лорана, в точке 0 она имеет полюс порядка 1, $c_{-1}=1$ легко считается, тогда $\displaystyle \lim \limits_{x\to 0}(\frac 1 x -\frac 1 {\sin x})=c_0=0$

[bot]

(Оффтоп)

Дык, это было ожидаемо, по Тейлору ещё ...
А здесь просто чуть-чуть переиначенные неравенства из доказательства 1-го замечательного - мне понравилось.

[xmaister]

(Оффтоп)

bot это было моя первая мысль когда я предел увидел, такое неравенство сразу я не заметил просто