Разложить неразличимые шары по ячейкам

[nikolai4]

$50$ неразличимых шаров раскладываются по $30$ ячейкам. Какова вероятность того, что в последних 3 ячейках шаров не будет?

Попытка

Мне это напомнило статистику Бозе-Энштейна

(Оффтоп)

Можно ли это сделать проще, без статистики Бозе-Эйнштейна?!

Число способов разложить $n$ шаров по $m$ ячейкам равно:

$\Omega = \dfrac{(n+m-1)!}{(m-1)!}$

Число способов разложить $50$ шаров по $30$ ячейкам равно:

$\Omega_1 = \dfrac{(50+30-1)!}{(30-1)!}$

Число способов разложить $50$ шаров по $27$ ячейкам равно:

$\Omega_2 = \dfrac{(50+27-1)!}{(27-1)!}$

Искомая вероятность равна

$P=\dfrac{\Omega_2 }{\Omega_1}$

Похоже на правду?

[gris]

Попробуем разложить 2 неразличимых шара по 3 различимым ячейкам.
По Вашей формуле 12 способов. Попробуем.
200 020 002 110 101 011. Шесть. Я что-то забыл? Или Вы забыли кое-что в знаменателе?

[nikolai4]

gris в сообщении #494510 писал(а):

Попробуем разложить 2 неразличимых шара по 3 различимым ячейкам.
По Вашей формуле 12 способов. Попробуем.
200 020 002 110 101 011. Шесть. Я что-то забыл? Или Вы забыли кое-что в знаменателе?

Ок, спасибо, кажется понял!!!

Число способов разложить $n$ шаров по $m$ ячейкам равно:

$\Omega = \dfrac{(n+m-1)!}{n!(m-1)!}$

Так?) А дальше будет правильно, если делить на факториал?!

[gris]

Ну да. Выводится через биномиальные коэффициенты путём добавления $m$ "пустых" шариков и расстановкой $m-1$ перегородочки.
Ну а дальнейшее верно. Произвольные три ячейки (последние в Вашем случае) закрываем и раскладываем шары по остальным.

[nikolai4]

Ок, спасибо!