рациональные корни уравнения x^y=y^x

[Lyubushca]

а вот интересная задачка: доказать, что все рациональные корни уравнения x^y=y^x , кроме тривиальных (x=y) имнют вид: x=(1+1/n)^n
y=(1+1/n)^(n+1) или наоборот!

[маткиб]

Пусть x!=y.
Выберем a и b так, чтобы выполнялись равенства:
x = (y/x)^a,
y = (y/x)^b.
Нетрудно заметить, что b=a+1.
x^y = y^x =>
a*(y/x)^b = b*(y/x)^a =>
(y/x)^(b-a) = b/a =>
y/x = (a+1)/a =>
a = x/(y-x).
Теперь возьмем n=a и получим требуемые равенства.

Осталось доказать, что если x и y рациональные, то n целое. Во-первых, заметим, что n=x/(y-x) - рациональное. Пусть n=p/q, где p,q - взаимно простые (несократимая дробь).
Тогда x = ((p+q)/p)^(p/q) = r/s, где r,s взаимно просты.
Возведем все в степень q:
(p+q)^p/p^p = r^q/s^q.
Ясно, что p+q и p взаимно просты (как и p,q) => (p+q)^p и p^p взаимно просты. Кроме того, из того, что r,s взаимно просты следует, что r^q и s^q взаимно просты. Но любое рациональное число единственным образом представляется в виде несократимой дроби =>
(p+q)^p = r^q,
p^p = s^q.
Пусть r-любое простое число, r входит в разложение p в степени m, в s - в степени k. Тогда m*p=k*q => m делится на q (из взаимной простоты p и q). То есть все простые множители p входят в степени, делящейся на q. Следовательно, p=u^q. Аналогично, p+q=v^q.
q=v^q-u^q=(v-u)*(u^(q-1)+u^(q-2)*v+...+u*v^(q-2)+v^(q-1)).
Заметим, что при q>=2 первый сомножитель>=1, второй>=q, равенство может достигаться, только если v-u=1 и v=u=1. Эти условия противоречат друг другу. Следовательно, q=1. Т.е. n=p/q - целое. Теорема доказана.

[маткиб]

Извиняюсь, в первой строке должно быть x<y, а не x!=y, чтобы получилось n>0 и ни в каком месте не возникало отрицательных чисел.

[Гость]

спасибо!!! Всё понятно!

[Ринат]

А вот это решение вам как?

x=(1/y)^a ==> y^(ay)=y^(y^a) ==> ay=y^a
y(y^(a-1) - a) = 0
y = 0 , y^(a-1)=a
y = a^(1/(a-1))
x = a^(a/(a-1))

Здесь а - любое рациональное число... пока доказать это для всех рациональных чисел я не смог, но для одного "контрпримера" это очевидно... подставьте вместо а значение 3/2.

[Anar Yusifov]

to Ринат
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=1112
вот очень похожая тема и очень похожее докозательство того, что вам нужно. Остальную работу проделайте сами.

С Уважением, Анар.

[worm2]

Найти все рациональные положительные решения уравнения $x^y=y^x$, $x \ne y$ (указать формулу, дающую все решения).

Задача из книги Московские математические олимпиады, XI-я олимпиада (1948 г.).

[ИСН]

Было стопудово, кажется, даже здесь. Там простенькая серия счётных размеров, с одним параметром.

[Lion]

Нет, такой задачи не было, была похожая.
Но эту задачу можно попробовать решить аналогично: положим $y=tx$, где $t\in\mathbb{Q}\setminus\{1\}$, тогда $x^{t-1}=t$ и $x=t^{\frac{1}{t-1}}$, $y=t^{\frac{t}{t-1}}$. Правильно? Или нужно еще и находить условия, при которых $x,y\in\mathbb{Q}$?

[worm2]

Lion писал(а):

Или нужно еще и находить условия, при которых $x,y\in\mathbb{Q}$?

Именно. И это чуть посложнее.

[Lion]

Тогда так. Пусть $t=\frac{m}{n}$, $m,n\in\mathbb{Z}$, $(m,n)=1$. Тогда $x=\left(\frac{m}{n}\right)^{\frac{n}{m-n}}\in\mathbb{Q}$, поэтому из чисел $m$ и $n$ должен извлекаться корень степени $m-n$. Положим $m-n=p\in\mathbb{Z}$, $n=l^p$, $l\in\mathbb{Z}$. Если $p\geq 2$, то $l^p<m=p+n=l^p+p<(l+1)^p$, поэтому $p=1$, $m=n+1$ и решения будут такими: $x=\left(\frac{n+1}{n}\right)^n$, $y=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}$.
Теперь правильно?

[worm2]

Ну прямо как в книжке
Что-то больно быстро решаете. Надо будет поискать задачи со звёздочкой
Хотя... какая бы ни была задача с реальной олимпиады, она должна быть рассчитана на то, что её можно решить в течение отведённого времени.

[Lion]

Жду с нетерпением.
Кстати, если в книге решение такое же, то оно не совсем верное. А именно, нужно сначала предположить, что $x<y$, а отсюда будет следовать, что $p>0$, поскольку неравенство $l^p<n+p$ верно только при таких $p$. Да и общий ответ должен быть таким: $\left(\left(\frac{n+1}{n}\right)^n, \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}\right)$ и $\left(\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}, \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}\right)$.

[worm2]

Там в такие детали не вникают. Часто даются только указания. А для некоторых задач решения вообще не приведены.

[Lia]

Gavrisych Сообщение отделено в Карантин. topic104576.html