Доказать неравенство (индукция)

[RFZ]

Здравствуйте!
Помогите пожалуйста разобраться с такой задачкой.
Как доказать, что $\dfrac{1 \cdot 3 \dots (2n-1)}{2 \cdot 4 \dots (2n)}<\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}$?
Знаю, что это можно доказать по индукции.
Но есть ли другой способ?

[xmaister]

Можно рассмотреть интеграл $I_n=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n xdx$ задайте его рекуррентно, должно получиться $I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$, $I_0, I_1$ посчитаются. А потом воспользоваться неравенствами $I_{2n+1}<I_{2n}<I_{2n-1}$
У меня получилось, что $\frac{1\cdot 3\cdot 5\ldots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot \ldots (2n)}<\sqrt{\frac1{\pi (n+1)}}$ если нигде не накосячил.

[RFZ]

И как отсюда получится то, что меня интересует?

[xmaister]

$I_n=\frac{\pi}{2}\frac{1\cdot 3\cdot 5\ldots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot\ldots\cdot (2n)}$, если $n$- чётное.

[RFZ]

Ну да у меня тоже так.
Спасибо Вам!

[gris]

А я попробовал домножить числитель и знаменатель левой части на знаменатель, вынес внизу двойку в соответствующей степени и получившиеся факториалы приблизил по формуле Стирлинга. Получилось, что отношение правой и левой частей стремится к пределу, большему 1.

[Whitaker]

xmaister А вы предложили красивое решение

-- Чт окт 20, 2011 10:42:01 --

xmaister А у меня получилось
$\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}=\dfrac{1 \cdot 3 \dots (2n-1)}{2 \cdot 4 \dots (2n)}<\dfrac{1}{\sqrt{\pi n}}$

[xmaister]

Whitaker
И правда, пересчитал.
А вообще, я использовал идею доказательства формулы Валлиса.

[RIP]

А "стандартное" док-во такое: $1/2<2/3$, $3/4<4/5$,..., $(2n-1)/(2n)<2n/(2n+1)$, поэтому

$$\left(\frac{1\cdot3\cdot\ldots\cdot(2n-1)}{2 \cdot 4\cdot \ldots\cdot (2n)}\right)^2<\frac12\cdot\frac23\cdot\frac34\cdot\frac45\cdot\ldots\cdot\frac{2n}{2n+1}=\frac1{2n+1}.$$

(Хотя это и есть док-во по индукции, только без индукции.)

[Whitaker]

RIP Красивое доказательство