Вариационная задача из "Современной геометрии"

[FFFF]

Здравствуйте!
Прошу помощи в решении задачи из книги Дубровина, Новикова, Фоменко "Современная геометрия", первая задача после параграфа 37:

Показать, что для экстремалей функционала $S(F)=\int F\bigwedge \ast F=\int F^{ik}F_{ik}d^4 x$ при условии $dF=0$ справедливы уравнения Максвелла (в пустоте). $F_{ik}$ - кососимметрический тензор в пространстве Минковского.

То есть от обычного электродинамического действия такой функционал отличается тем, что варьируются непосредственно компоненты тензора э/м поля, а не 4-потенциала. На сколько я понял, нужно получить уравнение типа $\delta F=0$, где $\delta$ - оператор дивергенции. Для меня трудность в том, чтобы приплести сюда градиент $F$, из него я могу получить дивергенцию по свойству дуальности Ходжа. Но откуда взять градиент - не понимаю=( По идее, он должен как-то появиться при варьировании действия, но как? Желательно разобраться в бескоординатной записи. В координатной записи у меня получилась ерунда, из уравнения Эйлера -Лагранжа для такого действия следует, что $F_{ik}=0$. Заранее спасибо за помощь!

[Padawan]

А, так тут условный экстремум. Вариация берётся не по всем $F_{ik}$, а только 1) по кососимметричным 2) удовлетворяющим условию $d(F_{ik}dx^i\wedge dx^k)=0$. Метод множителей Лагранжа используйте. По идее два этих условия как раз эквивалентны (локально) тому, что $F_{ik}=\frac{\partial A_i}{\partial x_k}-\frac{\partial A_k}{\partial x_i}$.

[FFFF]

Получилось доказать супер-нестрого ("что выросло - то выросло"), посмотрите, пожалуйста, есть ли критические ошибки:
1). http://ru.wikipedia.org/wiki/Дифференциальные_формы_в_электромагнетизме
Следуя написанному там говорю, что мне нужно вывести уравнение $ d \ast F = 0$ ($J=0$ - пустота)
2). Смотрю вариацию напрямую
$\int \delta (F\bigwedge \ast F) + \lambda \bigwedge d( \delta F) \,= 0$
где $\lambda$ - множитель Лагранжа (4-вектор). Второе слагаемое беру по частям, интеграл по границе уходит, т.к. на границе вариация зануляется. В первом интеграле варьирую произведение $ (\delta F)\bigwedge \ast F+ F\bigwedge \ast (\delta F)$, говорю, что звезда Ходжа коммутирует с вариацией. Скалярное произведение симметрично, следовательно $F\bigwedge \ast (\delta F) = (\delta F)\bigwedge \ast F $. В итоге от первого слагаемого остаётся только $2(\delta F)\bigwedge \ast F$, от второго - $ ( \delta F)\bigwedge d \lambda$ (поменял местами во внешнем произведении, поменял знак). Таким образом остаётся $( \delta F)\bigwedge (d \lambda+2 \ast F)$. Ввиду произвольности $\delta F$ получаем, что $\ast F = \frac{-d \lambda}{2}$, а это как раз и значит, что внешний дифференциал от $\ast F$ равен нулю. Уфф.

[Padawan]

Я всегда с подозрением отношусь к бескоординатной записи, но в принципе вроде всё правильно, только со знаками есть ошибки.
Замечания: 1) $\lambda$ - 1-форма 2) $d(\lambda\bigwedge\delta F)=d\lambda\bigwedge\delta F-\lambda\bigwedge d(\delta F)$. После интегрирования по частям (по формуле Стокса) остается $d\lambda\bigwedge\delta F=\delta F\bigwedge d\lambda$ ( т.к. $\omega\bigwedge\eta=(-1)^{pq}\eta\bigwedge\omega$). А дальше всё правильно. И ответ в итоге тоже правильный $\ast F=-\frac{d\lambda}{2}$

[FFFF]

Действительно так, ещё раз спасибо. Бескоординатная запись, по-моему, выглядит более естественной, особенно когда в индексах утонуть можно=)