Предел синуса от n^2

[nnosipov]

xmaister в сообщении #494191 писал(а):

Вроде бы $\{\sin n^2| n\in\mathbb{N}\}$ всюду плотно на $[-1,1]$

Это так, но доказывается трудно.

[bot]

Да нафиг Вам эта формула? На единичной окружности смотрите. Для достаточно больших $n$ точка $n^2$ должна быть почти кратна $\pi$, а вместе с ними и разности двух соседних квадратов. Вот и посмотрите на разности $n^2-(n-1)^2=2n-1$ и $(n+1)^2-n^2=2n+1=2n-1+\underline{2}$.

-- Чт окт 20, 2011 00:02:51 --

У-п-с, шибко долго писал.

[ИСН]

RFZ в сообщении #494190 писал(а):

А почему их разность не "близка"?

Потому что она, как Вам уже намекают, равна 2.

[xmaister]

(nnosipov)

разве нельзя провести доказательство по принципу Дирихле, по аналогии с тем как написано в Арнольде?

[nnosipov]

(Оффтоп)

xmaister, не знаю, но вряд ли это будет просто. Лучше уж сразу изучать подобные штуки на равномерную распределённость.

[RFZ]

bot в сообщении #494203 писал(а):

Да нафиг Вам эта формула? На единичной окружности смотрите. Для достаточно больших $n$ точка $n^2$ должна быть почти кратна $\pi$, а вместе с ними и разности двух соседних квадратов. Вот и посмотрите на разности $n^2-(n-1)^2=2n-1$ и $(n+1)^2-n^2=2n+1=2n-1+\underline{2}$.

-- Чт окт 20, 2011 00:02:51 --

У-п-с, шибко долго писал.

А что значит почти кратно?

[ИСН]

Близко к чему-то, что кратно. Конкретизацию термина "близко" возлагаю на Вас.

[RFZ]

то есть $n^2=\pi k+$ что-то

[ИСН]

как-то так, да.

[RFZ]

А если попробовать так?
Докажем от противного.
Допустим, что $\lim\limits_{n\to\infty}\sin n^2=0$, тогда $\lim\limits_{n\to\infty}\sin^2 n^2=0$
Так как $\sin^2{n^2}+\cos^2{n^2}=1$, тогда $\lim\limits_{n\to\infty}\cos n^2=1$.
Кроме того, $\lim\limits_{n\to\infty}\sin (n+1)^2=0$ и
$\sin(n+1)^2=\sin(n^2+2n+1)=\sin n^2 \cdot \cos(2n+1)+\cos n^2 \cdot \sin(2n+1)$ и переходя к пределу получим:
$\lim\limits_{n\to\infty}\sin (n+1)^2=0=\lim\limits_{n\to\infty}\sin (2n+1)$.
Но ведь $\lim\limits_{n\to\infty}\sin (2n+1) \neq 0$
Получаем противоречие.

Скажите пожалуйста правильно ли мое рассуждение?

[nnosipov]

RFZ в сообщении #494256 писал(а):

Скажите пожалуйста правильно ли мое рассуждение?

Немного подчистить, и всё будет Ок. Что-то в этом духе я и имел в виду. Но я также рекомендую понять тот способ доказательства, что Вам выше посоветовали.

[RFZ]

nnosipov в сообщении #494258 писал(а):

RFZ в сообщении #494256 писал(а):

Скажите пожалуйста правильно ли мое рассуждение?

Немного подчистить, и всё будет Ок. Что-то в этом духе я и имел в виду. Но я также рекомендую понять тот способ доказательства, что Вам выше посоветовали.

Что именно подчистить? Не понял Вас nnosipov
Тот способ, который рекомендовали выше я не совсем понял.
Там цифра 2 появляется и на что она влияет я так и не понял.

[Whitaker]

RFZ посмотрите здесь дано очень красивое решение http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=79402&into_basket=79402.

[xmaister]

RFZ в сообщении #494265 писал(а):

Тот способ, который рекомендовали выше я не совсем понял.

Может это поможет разобраться..
Чтобы бы доказать, что $\{\sin n^2|n\in\mathbb{N}\}$ всюду плотны на $[-1,1]$ достаточно доказать, чтобы $n^2\mod2\pi$ было всюду плотно на $[0,2\pi]$ или $\frac{n^2}{2\pi}\mod 1$ всюду плотно на $[0,1]$, а для этого достаточно доказать, чтобы $\frac{n^2}{2\pi}\mod1$ сколь угодно близко приближались к рациональным числам, т.е. $\gamma n^2\mod1$, $\gamma$- иррациональное, сколь угодно близко приближается к 0 или 1. Т.к. мера иррациональсноти $\ge$2, тогда $\left|\gamma-\frac{k}{n^2}\right|<\frac1{n^{2m}}\Leftrightarrow$ $-\frac1{n^{2(m-1)}}<\gamma n^2-k<\frac1{n^{2(m-1)}}$

[nnosipov]

xmaister в сообщении #494315 писал(а):

Может это поможет разобраться..
Чтобы бы доказать, что $\{\sin n^2|n\in\mathbb{N}\}$ всюду плотны на $[-1,1]$ достаточно доказать, чтобы $n^2\mod2\pi$ было всюду плотно на $[0,2\pi]$ или $\frac{n^2}{2\pi}\mod 1$ всюду плотно на $[0,1]$, а для этого достаточно доказать, чтобы $\frac{n^2}{2\pi}\mod1$ сколь угодно близко приближались к рациональным числам, т.е. $\gamma n^2\mod1$, $\gamma$- иррациональное, сколь угодно близко приближается к 0 или 1. Т.к. мера иррациональсноти $\ge$2, тогда $\left|\gamma-\frac{k}{n^2}\right|<\frac1{n^{2m}}\Leftrightarrow$ $-\frac1{n^{2(m-1)}}<\gamma n^2-k<\frac1{n^{2(m-1)}}$

Нет, это не годится. Эдак можно заменить $n^2$ на что угодно и получится доказать. А между тем, например, имеем $\lim_{n \to \infty}{\sin{(\pi e n!)}}=0$.

-- Чт окт 20, 2011 08:27:00 --

RFZ в сообщении #494256 писал(а):

тогда $\lim\limits_{n\to\infty}\cos n^2=1$.

RFZ, такой вывод сделать нельзя, но можно утверждать, что $\lim\limits_{n\to\infty}|\cos n^2|=1$. И далее рассуждения соответствующим образом подправить.