Предел синуса от n^2

[RFZ]

Здравствуйте!
Помогите пожалуйста как доказать, что
$\lim\limits_{n\to\infty}\sin n^2 \neq 0$

Никак не могу это доказать.

[Kitozavr]

Предел последовательности существует тогда и только тогда, когда каждая подпоследовательность этой последовательности сходится к тому же пределу, а у синуса...

[nnosipov]

RFZ в сообщении #494149 писал(а):

Помогите пожалуйста как доказать, что $\lim\limits_{n\to\infty}\sin n^2 \neq 0$.

Если $n$ --- натуральное, то это одна задача, если $n$ --- вещественное, то другая задача (более простая).

[RFZ]

Здесь $n$-натуральное.

[nnosipov]

RFZ в сообщении #494162 писал(а):

Здесь $n$-натуральное.

Кажется, не так давно уже обсуждалось. Поищите.

[RFZ]

Извините пожалуйста, а у Вас нет ссылки?
Здесь так много тем

[nnosipov]

Увы, сам не могу найти. Указание к решению задачи: рассуждайте от противного и рассмотрите что-нибудь вроде $\sin{n^2}-\sin{(n-1)^2}$.

[ИСН]

Проще заново написать. Допустим, таки стремится; тогда с какого-то номера они должны стать меньше одной миллионной. Теперь рассмотрим три члена подряд и придём к противоречию.

[RFZ]

Ну вот первые три члена подряд $\sin n^2, \sin (n+1)^2, \sin (n+2)^2$;
Чтоб придти к противоречию нужно рассмотреть их разность?

[ИСН]

Ну например.

[RFZ]

$\sin(n+1)^2-\sin n^2=2\cos\dfrac{2n^2+2n+1}{2}\sin\dfrac{2n+1}{2}$

-- Ср окт 19, 2011 20:47:55 --

Вроде никакого пока противоречия нет

[ИСН]

Нет. Не так. То есть так, конечно, но надо не с этой... Тьфу ты чёрт, я сам уже всё забыл.
Короче: если этот синус близок к нулю, то $n^2$ "близко" (раскрыть тему) к $\pi k$. И $(n+1)^2$ тоже "близок" к какому-то другому пи-целому. И значит, их разность "близка" к пи-целому. И разность двух таких разностей близка. А она не близка.

[RFZ]

Вроде всё понятно.
А почему их разность не "близка"?

[xmaister]

Вроде бы $\{\sin n^2| n\in\mathbb{N}\}$ всюду плотно на $[-1,1]$

[RFZ]

ИСН
Может быть потому $\sin n $ не стремится к нулю при $n \to \infty$