Интеграл, зависящий от параметра

[Anexroid]

В общем, неообходимо исследовать функцию $I(\alpha)$ на непрерывность на области определения

$$ I(\alpha) = \int\limits_{0}^{\pi} \frac {sin{x} dx} {x^\alpha (\pi - x)^\alpha}$$

Если подинтегральная функция определена и непрерывна в ограниченной области, то интеграл непрерывен на том же сегменте.

Только я не могу понять как это всё доказать в случае с параметром, тем более что параметр может быть любой.

[ewert]

Начните с того, что опишите область определения.

[Anexroid]

Ну, если я правильно понял, то $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \pi) \cup (\pi, +\infty)$

[ewert]

Неправильно, естественно. При чём тут вообще иксы, когда функция зависит от альфы?

[Anexroid]

Ну, в таком случае, чтобы найти область определения, нам надо сначала взять интеграл?
Потому что область определения подинтегральной функции $\alpha \in (-\infty, +\infty)$

[ewert]

Anexroid в сообщении #492003 писал(а):

Ну, в таком случае, чтобы найти область определения, нам надо сначала взять интеграл?

Нет, сперва надо осознать, что понимается под словами "область определения". Пока что же диалог выглядит вполне бессмысленным.

[Anexroid]

Цитата:

Если задана функция, которая действует из одного множества в другое, то множество, из которого действует данная функция, называется областью определения.

Функция $I(\alpha)$ отображается множество всех возможных значений $\alpha$ в некое другое множество.

Я правильно говорю?

[ИСН]

Ключевой вопрос: от кого функция? (словами, медленно)

[Anexroid]

Функция от альфа

[alcoholist]

вот и подумайте, при каких $\alpha$ ваш интеграл имеет смысл

[Anexroid]

При $\alpha < 1$ интеграл сходится. А еще при каких?

[ИСН]

Почему именно при таких?

[Anexroid]

Потому что функция $\frac {1} {x^k}$ сходится при k > 1, а в нашем случае, $sinx$ - ограничена, и в крайнем случае = 1 или -1.

Кстати, постом ниже, ошибка. $\alpha > 1$

[bot]

Что, что сходится и когда?

[Anexroid]

Интеграл $\int \frac {1} {x^k}dx$ при k > 1