Нахождение плотности тока и тока через поперечное сечение

[metoflex]

Здравствуйте Уважаемые форумчане!

У меня произошел казус. По задаче получается ток через поперечное сечение - равный бесконечности, чего быть не должно.

Привожу сам текст задачи и свое решение. Укажите пожалуйста на мою ошибку.

Задача:

Вдоль бесконечного прямого цилиндра радиуса а протекает ток проволимости. Напряженность магниитного поля, создаваемого этим током внутри цилиндра $\bar{H} = \bar{\alpha_0}H_0 \frac {1} {r^3}$, где $\bar{\alpha_0}$ - единичный вектор в цилиндрической системе координат, $r$ - переменная в этой системе, $H_0$ - постоянная величина. Определить распеределение тока проводимости вдоль радиуса цилиндра и ток проводимости, протекающий через поперечное сечение.

Решение:

Плотность тока находим из соотношения:

$\operatorname{rot} \mathbf{\bar{H}} = \bar{j} $

для цилиндрической с.к. получаем:

$\operatorname{rot} \mathbf{\bar{H}} = (\frac {1} {r} H_{\alpha}+\frac{\partial H_{\alpha}}{\partial {\alpha}})\bar{e_z}$

подставляя в эту формулу свое выражение, заданное по условию, нахожу ротор напряженности магнитного поля:
$\operatorname{rot} \mathbf{\bar{H}} = -2 \frac {H_0}{r^4}\bar{e_z}$

Таким образом:

$\bar{j} = (0,0,-2 \frac {H_0}{r^4})$;

Теперь найдем ток, протекающий через поперечное сечение:

$I = \int\limits_{s}^{} \bar{j} \bar{ds}$

т.к. $\bar{j} \uparrow \uparrow \bar{ds} \Longrightarrow \bar{j} \bar{ds} = j ds \cos(0) = j ds$

тогда:

$I = \int\limits_{0}^{a} {j} ds = \int\limits_{0}^{a} {-2 \frac {H_0}{r^4}} 2\pi r dr = -4 H_0\pi\int\limits_{0}^{a} \frac {1}{r^3}dr$

Откуда получаю:

$I = \frac{4}{3}H_0\pi\frac {1}{r^2} \left.\right|^a_0 = ???$

Из последнего выражения видно, что при подстановке нижнего предела получается бесконечность. В чем моя ошибка, подскажите пожалуйста?

Заранее благодарен.

[phys]

А что такое $a$?

Ой, нашел, это же радиус

[espe]

metoflex в сообщении #493518 писал(а):

Привожу сам текст задачи и свое решение. Укажите пожалуйста на мою ошибку.

Задача:

Вдоль бесконечного прямого цилиндра радиуса а протекает ток проволимости. Напряженность магниитного поля, создаваемого этим током внутри цилиндра $\bar{H} = \bar{\alpha_0}H_0 \frac {1} {r^3}$, где $\bar{\alpha_0}$ - единичный вектор в цилиндрической системе координат, $r$ - переменная в этой системе, $H_0$ - постоянная величина. Определить распеределение тока проводимости вдоль радиуса цилиндра и ток проводимости, протекающий через поперечное сечение.

Проверьте нет ли опечатки в зависимости $H(r)$.