Критерии линейности. Пререзагрузка.

[PAV]

Пока что все равно совершенно не вижу содержательного предмета обсуждения. Кроме того, что есть два разных понятия, терминологически обозначаемых одинаковым образом, однако в каждом конкретном случае понятно, о чем идет речь. Проблем для профессионалов не наблюдаю, а дилетант и на ровном месте может себе проблему накопать, так что на эту категорию ориентироваться бессмысленно. По-прежнему жду хоть чего-то содержательного.

[profrotter]

prophet в сообщении #492855 писал(а):

Важно понимать, что линейное преобразование выступает в качестве аналитического инструмента для определения на предмет линейности или нелинейности объекта исследования (т.е. в качестве критерия линейности).
...
Таким образом, огромная работа, проделанная несколькими поколениями учёных по классификации всевозможных объектов исследования с помощью существующих критериев линейности, ставится под сомнение.

Предлагаю сразу снять подозрения с тех учёных, которые исследовали физические объекты. Дело в том, что наличие свободного члена в дифференциальном или алгебраическом уравнении, описывающем объект, говорит лишь о наличии источника внутри исследуемого объекта, сам же объект по отношению к преобразованию входного сигнала в выходной является линейным (то есть имеет место выполнение принципа суперпозиции).
Смотрим простой пример из электротехники:

Сам объект выделен пунктиром. Входным воздействием является напряжение $u_{\text{вх}}$, реакцией является ток через единственную ветвь цепи $i_{\text{вых}}$. Собственно $i_{\text{вых}}=\frac {u_{\text{вх}}} {R}+\frac {U_0} {R}=k u_{\text{вх}}+b$. Отклик цепи, как видно, состоит из составляющей, обусловленной входным воздействием $\frac {u_{\text{вх}}} {R}$ и составляющей, определяемой источником $\frac {U_0} {R}$ и никак от входного воздействия независящей.Тут уже наблюдается выполнение принципа суперпозиции: реакции цепи на источник внутри объекта и на внешнее воздействие индивидуальны. Это даёт основание выполнять анализ цепи, положив закороченным внутренний источник, а к полученным решениям потом прибавлять $\frac {U_0} {R}$. Принцип суперпозиции, таким образом, выполнятся для составляющей отклика, обусловленной входным воздействием. Если же рассматриваются пассивные системы, то свободные члены в уравнениях не возникают.

[shwedka]

prophet в сообщении #492883 писал(а):

Аффинный в переводе с латинского - смежный.

Вы бы еще с какого-нибудь языка перевели!

На будущее: научные термины могут означать понятия, сильно отличающиеся от дословного их перевода словарем общей лексики. Надо смотреть не в словарь, а в учебник.

[prophet]

PAV в сообщении #492910 писал(а):

есть два разных понятия, терминологически обозначаемых одинаковым образом, однако в каждом конкретном случае понятно, о чем идет речь. Проблем для профессионалов не наблюдаю

На форуме принимают участие и просматривают его не только профессионалы.
С учётом этого, прошу Вас, как профессионала, или владеющего темой помощника, ответить на следующий вопрос.

Почему в основу критериев линейности были взяты второстипенные свойства линейной функции, и почему не использовалось её основное свойство? Несмотря на то, что для всех линейных функций справедливо основное свойство. Значит, была какая-то причина отказаться от очевидного критерия линейности.

Возможно, вопрос нужно было задать так. Почему линейное преобразование используется в качестве критерия линейности? Ведь мы знаем, что линейное преобразование может быть применено как к линейным, так и нелинейным функциям. Следовательно, невозможно однозначно установить факт линейности или нелинейности функции, в отношении которой применялось линейное преобразование.

-- 16.10.2011, 22:14 --

profrotter в сообщении #492911 писал(а):

имеет место выполнение принципа суперпозиции).
Смотрим простой пример из электротехники:
Изображение

Появление исследователя физических объектов на этой теме форума – приятная неожиданность.

В схеме приведённого Вами примера из электротехники не содержится нелинейных элементов, поэтому принцип суперпозиции в данном случае выполняется. Ошибки нет.

У меня имеется множество примеров нелинейного поведения электротехнических и радиотехнических цепей, но не хочу сейчас забегать вперёд, пока не решится ключевой вопрос о несостоятельности критериев линейности.

Сейчас лишь скажу, что используя действующие критерии линейности, индуктивность и ёмкость были ошибочно отнесены к разряду линейных элементов. На самом деле они нелинейные. Реактивные элементы свои нелинейные свойства наиболее ярко проявляют в момент переходных процессов. Этот факт сейчас невозможно доказать аналитически. Первостепенная задача – исправить показанную мной математическую ошибку, которая исказила физику.

-- 16.10.2011, 22:16 --

shwedka в сообщении #492924 писал(а):

научные термины могут означать понятия, сильно отличающиеся от дословного их перевода

Совершенно с Вами согласен. В результате подмены исходного понятия другим, заключая в него совершенно иной смысл, происходят катастрофические ошибки. В настоящий момент мы пытаемся установить первопричину ошибочного использования линейного преобразования в качестве критерия линейности. Какие соображения у Вас есть на этот счёт?

[profrotter]

prophet в сообщении #493150 писал(а):

В схеме приведённого Вами примера из электротехники не содержится нелинейных элементов, поэтому принцип суперпозиции в данном случае выполняется. Ошибки нет.

Как здорово! То есть "критерий линейности" работает, когда система линейна и исследователь понимает откуда берётся свободный член в описании системы, несмотря на то, что она описывается линейной функцией?

prophet в сообщении #493150 писал(а):

У меня имеется множество примеров нелинейного поведения электротехнических и радиотехнических цепей, но не хочу сейчас забегать вперёд, пока не решится ключевой вопрос о несостоятельности критериев линейности.

Думаете только у вас? - Увы, линейный режим работы нелинейных цепей ни для кого не является секретом и подрбоно описан в радиотехнической литературе и реализован, пожалуй, в каждом сколь-нибудь сложном радиотехническом устройстве.

prophet в сообщении #493150 писал(а):

Сейчас лишь скажу, что используя действующие критерии линейности, индуктивность и ёмкость были ошибочно отнесены к разряду линейных элементов. На самом деле они нелинейные.

Как же это могло произойти? Напомню, что индуктивность и ёмкость - это идеализированные элементы цепи (скажем катушка индуктивности по-честному на схеме должна быть представлена в ввиде индуктивного элемента, сопротивления, отражающего наличие сопротивления обмотки, межвитковой ёмкости и тп) Так вот, линейным называется индуктивный элемент, имеющий линейную вебер-амперную характеристику $\Phi=L i$, где индуктивность $L$ независит от приложенного к элементу напряжения или протекающего через него тока. Если вебер-амперная характеристика не является линейной, то индуктивный элемент называется нелинейным ( у такого индуктивность зависит от приложенного напряжения или протекающего тока). Напряжение и ток через линейный индуктивный элемент связаны линейным дифференциальным уравнением: $u=L \frac {di} {dt} $
Ёмкостный элемент называется линейным, если он имеет линейную кулон-вольтную характеристику $q=Cu$, где ёмкость $C$ независит от приложенного напряжения или протекающего тока. Если кулон-вольтная характеристика нелинейна, то ёмкостный элемент является нелинейным ( у такого ёмкость зависит от приложенного напряжения или протекающего тока) Напряжение и ток через линейный ёмкостный элемент связаны линейным дифференциальным уравнением $i=C \frac {du}{dt}$.
Так каким же образом индуктивные и ёмкостные элементы неправильно классифицированы на линейные или нелинейные?!!

prophet в сообщении #493150 писал(а):

Реактивные элементы свои нелинейные свойства наиболее ярко проявляют в момент переходных процессов. Этот факт сейчас невозможно доказать аналитически.

Не понятно: вы предлаете тут вам просто поверить? Не можете доказать аналитически, тогда почему берётесь утверждать? Если вы это установили экспериментально - то будьте любезны описать эксперимент (установку, методику измерений, обработку экспериментальных данных, выводы).

prophet в сообщении #493150 писал(а):

Первостепенная задача – исправить показанную мной математическую ошибку, которая исказила физику.

В чём заключается ошибка и как конкретно эта ошибка исказила физику? Приведите хоть один пример такого искажения.

[Tall]

Ни чего не понял из вышеописанного, но если эта такая серьезная ошибка исказившая всю физику то каким образом мы сейчас печатаем этот текст на экране компьютера? То есть в итоге на всю эту электронику, что расположена между мной и вами эта ошибка ни какого влияние не оказывает?

[shwedka]

prophet в сообщении #493150 писал(а):

Ведь мы знаем, что линейное преобразование может быть применено как к линейным, так и нелинейным функциям. Следовательно, невозможно однозначно установить факт линейности или нелинейности функции, в отношении которой применялось линейное преобразование.

Невозможность не доказана. Голословное утверждение.

prophet в сообщении #493150 писал(а):

В настоящий момент мы пытаемся установить первопричину ошибочного использования линейного преобразования в качестве критерия линейности.

Ошибочность не обоснована.

Вы до сих пор не привели ни одного примера, в котором кто-нибудь, кроме полного и безграмотного дилетанта, ощущал бы неопределенность, дискомфорт или совершал бы ошибки из-за общепринятой терминологии.

[ewert]

(Оффтоп)

Вот как интересно: зачем разумным людям набрасываться с азартом на заведомо нелепые утверждения. Какой-то психологический эффект.

[prophet]

profrotter в сообщении #493166 писал(а):

каким же образом индуктивные и ёмкостные элементы неправильно классифицированы на линейные или нелинейные?!!

Причина неправильной классификации индуктивности и ёмкости по признаку линейные или нелинейные заключается в том, что современные критерии линейности ошибочны.

Дело было так. Учёному дали мерку и сказали (или внушили) что она прямая. Прошу обратить внимание – не доказали, а внушили с высоты своего авторитета. Далее учёный проводит классификацию окружающих объектов с помощью этой мерки. Классификация выполнена, получен результат, всё поделено на линейное и нелинейное. Долгое время никто не сомневался что мерка кривая, а все неожиданные результаты последующих исследований (проявление нелинейности) либо списывали на погрешность эксперимента, либо, применяя изобретательность, подгоняли в необходимые рамки.

profrotter в сообщении #493166 писал(а):

В чём заключается ошибка и как конкретно эта ошибка исказила физику? Приведите хоть один пример

Ошибок множество. Приведу пример из радиотехники.
Проблему нехватки радиочастотного ресурса на данное время связывают с теоретической невозможностью передать информацию на физическом уровне на выделенной полосе частот со скоростью, превышающей ширину частот этого канала связи. Но это является ошибкой, искажением действительности.

На самом деле, радиочастотный ресурс теоретически не ограничен. Современные средства радиосвязи используют указанный ресурс в крайней степени нерационально. Почему? Да потому, что частотно-избирательные цепи приёмопередатчиков сконструированы и выполнены либо непосредственно на основе нелинейных индуктивности и ёмкости, либо на основе производных аналогах. Имеется ввиду не параметрическая нелинейность реактивных элементов, а их нелинейное влияние на электрические процессы в схемах, где они присутствуют. Можно продолжать, но я дал клятву PAV, что буду кратким.

Первопричина искусственной проблемы нехватки радиочастотного ресурса состоит в том, что математика (имеются ввиду её авторитеты) бездоказательно определила для естествоиспытателей ошибочные критерии линейности, которых последние вынуждены придерживаться. Все непослушные учёные автоматически становятся изгоями. Молчание учёных по поводу увиденных противоречий основано на страхе – на кону стоит их авторитет.

-- 17.10.2011, 11:56 --

shwedka в сообщении #493187 писал(а):

Ошибочность не обоснована.

Вы до сих пор не привели ни одного примера, в котором кто-нибудь, кроме полного и безграмотного дилетанта, ощущал бы неопределенность, дискомфорт или совершал бы ошибки из-за общепринятой терминологии.

Во-первых. Научных теорий великое множество. Порою, они противоречат друг другу, но существуют параллельно (одновременно) продолжительное время. Учёные часто ощущают неопределённость, временами дискомфорт, и часто совершают ошибки. Вы должны об этом знать или хотя-бы догадываться. Один из примеров ошибки учёных обозначен в ответе на вопросы profrotter в данном пакете сообщения.

Во-вторых, многие учёные вынуждены использовать в своей работе математический аппарат, который содержит скрытую ошибку, в частности, возникшую из-за подмены одного понятия совершенно другим. При этом, не ощущая неопределённости, не чувствуя дискомфорта, учёный совершает одну ошибку за другой.

Прошу ответить на вопрос. Почему линейное преобразование используется в качестве критерия линейности, учитывая то, что оно может быть применено как к линейным функциям, так и нелинейным?

-- 17.10.2011, 12:00 --

Tall в сообщении #493173 писал(а):

Ни чего не понял из вышеописанного, но если эта такая серьезная ошибка исказившая всю физику то каким образом мы сейчас печатаем этот текст на экране компьютера? То есть в итоге на всю эту электронику, что расположена между мной и вами эта ошибка ни какого влияние не оказывает?

Ошибки оказывают влияние на радиоэлектронику, но существуют способы исправлять их таким образом, что в большинстве случаев для конечного пользователя они остаются незамеченными.

Например, нехватка радиочастотного ресурса является проблемой для сотовых операторов и интернет провайдеров, и они для преодоления её предпринимают колоссальные усилия (конверсия радиодиапазона для них выходит в копеечку). На самом деле ошиблись учёные, частично по своей халатности, частично неосознанно. Расплачивается за это бизнес, и страдает конечный пользователь, например, недополучая желаемую скорость мобильного сегмента интернета.

[EEater]

По-моему, после этого последнего поста дальнейший маршрут темы не вызывает сомнений.

[shwedka]

prophet в сообщении #493295 писал(а):

Учёные часто ощущают неопределённость, временами дискомфорт, и часто совершают ошибки.

А Вам откуда знать?

prophet в сообщении #493295 писал(а):

Один из примеров ошибки учёных обозначен в ответе на вопросы profrotter в данном пакете сообщения

В ответе полное отсутствие обоснования связи между математическими понятиями и свойствами электрических элементов.

prophet в сообщении #493295 писал(а):

в частности, возникшую из-за подмены одного понятия совершенно другим.

Общие слова.

prophet в сообщении #493295 писал(а):

Почему линейное преобразование используется в качестве критерия линейности, учитывая то, что оно может быть применено как к линейным функциям, так и нелинейным?

Очень просто. По определению. Линейное преобразование (между прочим, что это такое, по-Вашему) можно приимениоть к любым функциям. Линейные - это инварианты линейных преобразований.

Похоже, что, по Вашему мнению, существует независимое от математиков природное понятие линейности, а математики его извратили. Ну и приведите это природное определение. Но не размахивая руками, а с обоснованием, как именно природа (или кто еще) продиктовала, какое именно слово нужно использовать.

[Jnrty]

shwedka в сообщении #493344 писал(а):

Похоже, что, по Вашему мнению, существует независимое от математиков природное понятие линейности, а математики его извратили. Ну и приведите это природное определение. Но не размахивая руками, а с обоснованием, как именно природа (или кто еще) продиктовала, какое именно слово нужно использовать.

Jnrty:

prophet, я жду "правильного" с Вашей точки зрения определения линейности. Если в следующем Вашем сообщении "правильного" определения с обоснованием его исключительной правильности (как просит shwedka) не будет, тема будет закрыта.

[prophet]

Jnrty в сообщении #493349 писал(а):

prophet, я жду "правильного" с Вашей точки зрения определения линейности. Если в следующем Вашем сообщении "правильного" определения с обоснованием его исключительной правильности (как просит shwedka) не будет, тема будет закрыта.

Прошу досрочно не закрывать тему, так как есть вопросы, адресованные PAV и shwedka, на которые не получены ответы. Торопиться не надо. Вопрос серьёзный и ставка очень высока.

[Jnrty]

prophet в сообщении #493534 писал(а):

Прошу досрочно не закрывать тему, так как есть вопросы, адресованные PAV и shwedka, на которые не получены ответы.

Извините, но shwedka задала Вам вопрос. По правилам форума, в дискуссионном разделе форума ответы на вопросы Заслуженных участников, заданные по существу темы, являются обязательными (для авторов этих тем).

shwedka в сообщении #493344 писал(а):

Похоже, что, по Вашему мнению, существует независимое от математиков природное понятие линейности, а математики его извратили. Ну и приведите это природное определение. Но не размахивая руками, а с обоснованием, как именно природа (или кто еще) продиктовала, какое именно слово нужно использовать.

Jnrty:

Будьте любезны ответить, последний раз предупреждаю.

[prophet]

Уважаемая shwedka, прошу Вас не нервничать. Я постараюсь ответить на все Ваши вопросы в пределах обозначенной темы. Пройдёт ещё немного времени, и Вы поймёте, что я говорю правду.

Однако, Вы не ответили на мой предыдущий вопрос. Задам его несколько иначе. Если линейное преобразование можно применить к любым функциям, в том числе к нелинейным, то каким образом можно определить с какой функцией мы имеем дело (линейной или нелинейной)? Вопрос остаётся в силе. Не тороплю, но буду ждать ответа.

shwedka в сообщении #493344 писал(а):

Линейное преобразование (между прочим, что это такое, по-Вашему) можно приимениоть к любым функциям. Линейные - это инварианты линейных преобразований.

Если я правильно понял, то эта фраза должна была звучать так: «Линейные функции – это инварианты линейных преобразований». Данное утверждение ложно, так как однозначно линейная функция вида $f (x)=kx+b$ не удовлетворяет условиям линейных преобразований. Следовательно, линейная функция вида $f (x)=kx+b$ не является инвариантом линейных преобразований. Это уже говорилось в моём первом сообщении по данной теме.

shwedka в сообщении #493344 писал(а):

Похоже, что, по Вашему мнению, существует независимое от математиков природное понятие линейности, а математики его извратили. Ну и приведите это природное определение. Но не размахивая руками, а с обоснованием, как именно природа (или кто еще) продиктовала, какое именно слово нужно использовать.

Да, Вы меня правильно поняли – математики извратили понятие линейности, если Вам так угодно. Но странно слышать от Вас о каком-то природном определении. Независимого от математики определения линейности в природе быть просто не может, потому, что понятие линейности есть неотъемлемая часть математики. Это могут подтвердить все настоящие математики, но не дилетанты.

И вот, опять возвращаясь к сказанному в моём первом сообщении по данной теме, что же такое есть линейность (кстати, об этом же просил сказать модератор Jnrty).

По-моему глубокому убеждению линейная функция есть та и только та, которая удовлетворяет основному свойству линейной функции, а именно: $f(x)-f(x_0)=k(x-x_0)$, или словами – приращение линейной функции пропорционально приращению её аргумента.

Если линейная функция зависит от многих аргументов, то приращение такой функции пропорционально сумме приращений всех её аргументов. Например, для линейной функции трёх переменных должно соблюдаться условие:

$$f(x,y,z)-f(x_0,y_0,z_0)=k((x-x_0)+(y-y_0)+(z-z_0))$$

Прошу за последний опус (с многими переменными) строго не судить так как вижу его незавершённость. Но смысл понятия линейности, я думаю, Вы уловили.

Теперь, самое главное, обоснование исключительной правильности предложенного мной критерия линейности (да простит меня супермодератор PAV, кратко не получается, участники форума задают вопросы как из пулемёта).

Предварительно надо сказать, что на данное время «мы говорим на разных языках». У каждого из нас свой критерий линейности. Чтобы понять друг друга, прошу Вас временно (это не смертельно, тем более лица скрыты аватарами) представить, что мы первооткрыватели и наблюдаем поведение функции вида $f(x,y)=x+y$.

Удобно и наглядно это выполнить на осциллоскопе, у которого есть горизонтальные и вертикальные отклоняющие луч пластины. За горизонтальное перемещение отвечает переменная $x$, за вертикальное $y$. Начинаем.

1. Поочерёдно подведём переменное напряжение любой формы сначала на горизонтальные, потом на вертикальные пластины. Наблюдаем поочерёдно горизонтальную и вертикальную прямые линии.
2. Одновременно подведём одно и то же переменное напряжение и к горизонтальным, и к вертикальным пластинам. Наблюдаем наклонную прямую линию.
3. Усложним опыт и подадим на отклоняющие пластины разные переменные напряжения. Для определённости, пусть они будут гармонического вида, но разной частоты. Если частоты подаваемых напряжений будут иметь кратные между собой отношения, то на экране осциллоскопа будут наблюдаться красивые фигуры Лиссажу, которые и близко не напоминают прямые линии.

Делаем промежуточные выводы.
В первом и втором опытах приращение функции кратна сумме приращений её аргументов – наблюдаем линейную функциональную зависимость.
В последнем случае приращение функции не имеет постоянной кратности к сумме приращений её аргументов – наблюдаем нелинейную функциональную зависимость в виде линий с постоянно меняющимся углом изгиба.

Окончательные выводы.
1. Функция вида $f(x,y)=x+y$ может быть линейной и может быть нелинейной, что зависит от характера изменения её аргументов.
2. Критерий линейности, использующий основное свойство линейной функции, во всех случаях безошибочно показал характер функциональной зависимости (линейная она или нелинейная).
3. Линейное преобразование, выступающее на данное время в качестве критерия линейности, не способно отличить линейное поведение исследованной нами функции от нелинейного её поведения, так как не учитывает характера изменения её аргументов. Данная функция определена как постоянно линейная. Поэтому, линейное преобразование не может выступать в качестве критерия линейности.