Основы теории управления. Критерий Стодолы.

[Mikle1990]

Цитата:

Интересно какая она? - Если молодая и красивая, то зачёт можно ходить сдавать вечно...

И молодая и красивая и на стажировку в Европу едет.

Цитата:

Не надо раскрывать этих скобок.

Она мне сказала, что надо.

profrotter, я щас думаю над тем что Вы написали. Скоро отвечу.

[ewert]

Mikle1990 в сообщении #490494 писал(а):

И молодая и красивая и на стажировку в Европу едет.

Ну может хоть в европах научат её наконец не путать необходимые условия с достаточными. Или на худой конец научат хотя бы Вас учить, как их не путать.

[profrotter]

Mikle1990 в сообщении #490494 писал(а):

profrotter, я щас думаю над тем что Вы написали. Скоро отвечу.

Уже сутки скоро. У меня такое предположение, что вы не о том думаете. Я то имел в виду, что о учительнице буду думать я, а вы будете думать над тем, какими могут быть два числа одинакового знака с отрицательной суммой.

[Mikle1990]

Прежде чем продолжить, я бы попросил вас написать мне:
1. Определение критерия Стодолы.
2. Почему только для систем 1-го и 2-го порядка?
3. Порядок системы определяется максимальной степенью в характеристическом полиноме?)

(Оффтоп)

На зачёте
Я: Критерий Стодолы это - ...
Учительница: Это неправильно.
Я: Так в методичке написано слово в слово.
Учительница: Ну это неправильно.
Я: Чтож получается в методичке неправильно?
Учительница: Да.
Я:
Учительница:
Я:

[profrotter]

Mikle1990 в сообщении #491932 писал(а):

Прежде чем продолжить, я бы попросил вас написать мне:
1. Определение критерия Стодолы.

Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления: Учеб. пособ. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986, глава 2, параграф 3, стр 43-44. Книга есть в сети. Если недостаточно, то открываем список литературы в учебнике к главе 2 и смотрим, что в тех книгах. Плюс учебники, рекомендованные вашим преподавателем.

Mikle1990 в сообщении #491932 писал(а):

Прежде чем продолжить, я бы попросил вас написать мне:
2. Почему только для систем 1-го и 2-го порядка?

Вообще не понятно, как вы позволили себе пойти на зачёт не сделав то, что вас просил преподаватель. Именно для систем 1-го и 2-го порядка вас просили доказать возможность применения критерия при любых видах корней характеристического многочлена, а в случае действительных корней:

ewert в сообщении #489934 писал(а):

Да, а в случае отсутствия комплексных корней это и впрямь критерий (он называется критерием Якоби). И доказательство в другую сторону совсем уж тривиально: из положительности коэффициентов следует, что многочлен не обращается в ноль на неотрицательной полуоси и, значит, любой его корень отрицателен (раз уж все они вещественны).

Возможно учительница ждала от вас этого. См. полностью сообщение ewert #489934

Mikle1990 в сообщении #491932 писал(а):

3. Порядок системы определяется максимальной степенью в характеристическом полиноме?)

В случае физически реализуемой системы - да. Только не максимальная степень, а просто степень полинома.

[Mikle1990]

[/color]Начну с, так сказать, чистого листа.

Критерий Стодолы.
Линейная система не выше второго порядка является устойчивой, если все коэффициенты характеристического полинома положительные.

(Оффтоп)

Характеристический полином находится в знаменателе передаточной функции и является динамической характеристикой системы.

(Оффтоп)

Характеристическое уравнение
$D(s)=a_{0}s^n+a_{1}s^{n-1}+...+a_{n}=0$
в соответствии с теоремой Безу можно представить в виде произведения множителей, содержащих корни $s_{1}, s_{2},...,s_{n}:$
$a_{0}(s-s_{1})(s-s_{2})...(s-s_{n})=0$

Доказательство Критерия Стодолы на примере системы второго порядка при трёх случаях:
1) Корни отрицательны.
$s_{1}, s_{2} \in R $
$s_{1}, s_{2} < 0$
$s_{1} \neq s_{2} $
2) Корни положительны.
$s_{1}, s_{2} \in R $
$s_{1}, s_{2} > 0$
$s_{1} \neq s_{2} $
3) Корни комплексные.
$s_{1}, s_{2} \in C $
$s_{1}=\alpha+i\beta$
$s_{2}=\alpha-i\beta$
$\alpha < 0$


- Случай 1. Корни отрицательны.
$(s-s_1)(s-s_2)=s^2-ss_2-ss_1+s_1s_2=s^2-(s_1+s_2)s+s_1s_2$ $
Коэффициенты многочлена второй степени $s^2+ps+q$ и его корни в рассматриваемом случае связаны соотношениями:
$p=-(s_1+s_2)$
и
$q=s_1s_2$
(по т. Виета)
Если корни отрицательны, то при их сложении мы получим отрицательное число и, следовательно, $p$ будет положительным, а при их умножении получим положительное число и $q$ тоже будет положительным. Это мы доказали, что отрицательность корней обеспечивает положительность коэффициентов. Теперь обратно. Пусть $p>0,q>0$, тогда
$-(s_1+s_2)>0$ или $s_1+s_2<0$ (1)
и
$s_1s_2>0$ (2)
Исходя из условия (2), корни могут быть либо оба положительными, либо оба отрицательными. Исходя из условия (1) можно сделать однозначный вывод о том, что оба корня являются отрицательными. Если корни отрицательны, то это означает, что они левые(находятся слева от мнимой оси на комплексной плоскости). Зная условие устойчивости линейной системы(для того чтобы линейная система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни её характеристического уравнения были левыми), мы можем точно сказать, что система является устойчивой.

- Случай 2. Корни положительны.
Мы знаем, что если корни положительные, то система не является устойчивой. Исходя из Случая 1, мы видим, что положительные корни нарушают условие при котором коэффициенты многочлена второй степени положительны: $s_1+s_2<0$. Или, по-другому говоря, если коэффициент характеристического уравнения не будет положительным, то корни никак не могут быть отрицательными, т.к. $p=-(s_1+s_2)$, а если корни не отрицательны, т.е. положительны, то, как и говорилось выше, система - не устойчива.

- Случай 3. Корни комплексные.

(Оффтоп)

Я не уверен даже в том, что выше написано, а здесь вообще не знаю, что писать.

(Оффтоп)

Для того чтобы линейная система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни её характеристического уравнения были левыми(находились слева от мнимой оси на комплексной плоскости).
Я очень боюсь вопроса: "А почему если корни слева, то система устойчива?"
В учебнике посмотрел - там сложновато Как-то там всё очень заумно(для меня) написано. Я надеюсь, что меня не будут спрашивать на таком уровне

[ewert]

(Оффтоп)

Mikle1990 в сообщении #493275 писал(а):

Я очень боюсь вопроса: "А почему если корни слева, то система устойчива?"

А Вы не бойтесь -- это практически по определению устойчивости. Хотя, конечно, хрен его знает, что у вас за определения были.

[profrotter]

Ну вот первый случай есть. А второй случай не такой. Второй случай - это когда характеристическое уравнение имеет один действительный корень кратности два, то есть характеристический многочлен представляется в виде: $(s-s_1)^2=s^2-2s_1s+s_1^2=s^2+ps+q$. В этом случае $p=-2s_1, q=s_1^2$. Второе равенство говорит о том, что коэффициент $q$ положителен при любом действительном корне. Первое равенство показывает, что $p$ положителен, когда $s_1$ отрицателен и обратно: если $p>0$, то из первого равенства $s_1<0$.
Третий случай. Корни характеристического многочлена комплексно-сопряжённые: $s_1=\alpha+i\beta,s_2=\alpha-i\beta$. Сначала можно не подставлять корни в записанном виде, а проделать такие же выкладки, как и в первом случае и получить $p=-(s_1+s_2)$ и $q=s_1s_2$, после чего подставить выражения для корней:

$$p=-(s_1+s_2)=-(\alpha+i\beta+\alpha-i\beta)=-2\alpha$$

$$q=s_1s_2=\alpha^2+\beta^2$$

Воторое равенство говорит о том, что коэффициент $q$ в случае комплексных корней всегда является положительным (как сумма квадратов двух действительных чисел). Первое равенство связывает действительную часть корней характеристического многочлена $\alpha$ и коэффициент $p$. Видно, что если $p>0$, то $\alpha<0$ и наоборот.
Теперь с устойчивостью. Линейная система описывается линейным неоднородным дифференциальным уравнением:

$$a_n\frac {d^nx(t)} {dt^n}+a_{n-1}\frac {d^{n-1}x(t)} {dt^{n-1}}+...+a_0x(t)=b_n\frac {d^ny(t)} {dt^n}+b_{n-1}\frac {d^{n-1}y(t)} {dt^{n-1}}+...+b_0y(t),$$

где $x(t)$ - сигнал на входе, $y(t)$ - синал на выходе, $a_n,a_{n-1},...,a_0;b_n,b_{n-1},...,b_0$ - постоянные коэффициенты, определяемые структурой системы и параметрами её элементов, независят от времени и от вида и интенсивности входного воздействия. Решение неоднородного ДУ является суммой общего решения соответствующего однородного ДУ $y_{oo}(t)$ и частного решения этого неоднородного ДУ $y_{\text{чн}}(t)$. Частное решение неоднородного ДУ зависит от вида входного воздействия. А решение однородного ДУ

$$b_n\frac {d^ny(t)} {dt^n}+b_{n-1}\frac {d^{n-1}y(t)} {dt^{n-1}}+...+b_0y(t)=0$$

независит от вида воздействия на систему и определяется только её свойствами. То есть при любом виде воздействия в системе неизбежно возникает процесс, описываемый общим решением однородного уравнения. Это так называемый собственный или свободный процесс. Для устойчивости системы необходимо чтобы собственный процесс был затухающим иначе любое сколь-нибудь малое воздействие на систему приведёт к её неуправляемому самовозбуждению. В некоторых практических случаях это чревато физическим разрушением каких-либо элементов системы. (В крайнем случае собственный процесс должен быть не возрастающим и не убывающим - тогда говорят что система находится на границе устойчивости). Из курса дифференциальных уравнений известно, что общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид:

$$y_{oo}(t)=\sum A_jt^{m_j}e^{s_jt}+\sum B_ke^{\operatorname{Re}s_k t}\cos(\omega_k t),$$

где $s_j$ - действительные корни харакеристического уравнения кратности $m_j$, $s_k$ - комплексные корни характеристического уравнения. (Само характеристическое уравнение $b_ns^n+b_{n-1}s^{n-1}+...+b_0=0$. Причём тут знаменатель передаточной функции см. в сообщении #491103).
Из структуры общего решения однородного уравнения видно, что собственный процесс является затухающим когда корни характеристического многочлена располагаются в левой полуплоскости. Тогда все члены суммы оказываются умноженными на экспоненциально-затухающий множитель.

[Mikle1990]

profrotter, спасибо большое. Вроде разобрался)
19 октября надеюсь получить зачёт.

[Mikle1990]

Ура! Получил зачёт!

profrotter, ещё раз большое спасибо.

Напоследок, у меня один вопрос.

Чтобы обосновать критерий Стодолы надо доказать, что если корни отрицательные, то коэффициенты положительны или же ,наоборот, надо доказать, что при положительных коэффициентах - корни отрицательные?

Я доказал, что при положительных коэффициентах - корни отрицательные, а учительница сказала, что надо было обратное доказать, т.к. критерий Стодолы является следствием корневого критерия.
Не знаю кто прав.

[profrotter]

Mikle1990 в сообщении #496393 писал(а):

Чтобы обосновать критерий Стодолы надо доказать, что если корни отрицательные, то коэффициенты положительны или же ,наоборот, надо доказать, что при положительных коэффициентах - корни отрицательные?

Надо доказать и то и другое, что мы с Вами в этой теме и делали.