2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Inequality
Сообщение15.10.2011, 05:50 


30/11/10
227
If $a,b,c\in\mathbb{R^{+}}\;,a+b+c=1$ Then prove that

$\displaystyle\left(a+\frac{1}{b}\right).\left(b+\frac{1}{c}\right).\left(c+\frac{1}{a}\right)\geq \left(\frac{10}{3}\right)^3$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.10.2011, 06:10 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
By AM-GM we obtain: $abc\leq\frac{1}{27}$.

$\displaystyle\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{c}\right)\left(c+\frac{1}{a}\right)\geq \left(\frac{10}{3}\right)^3\Leftrightarrow\prod_{cyc}(ab+1)\geq\left(\frac{10}{3}\right)^3abc$.
But by Holder $\prod\limits_{cyc}(ab+1)\geq\left(\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+1\right)^3$.
Id est, it remains to prove that $\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+1\geq\frac{10}{3}\sqrt[3]{abc}$, which is $\left(3\sqrt[3]{abc}-1\right)\left(\sqrt[3]{abc}-3\right)\geq0$,
which is true because $abc\leq\frac{1}{27}$.

Следующее более строгое неравенство тоже верно.
Пусть $a$, $b$ и $c$ положительны и $a+b+c=1$. Докажите, что
$$\displaystyle\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{c}\right)\left(c+\frac{1}{a}\right)\geq \frac{1000}{9}(a^2+b^2+c^2)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Inequality
Сообщение17.10.2011, 16:10 


30/11/10
227
thanks arqady

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Shadow


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group