Вот тут не очень понял. Ведь от ограниченного множества перейти к отрезку не проблема (просто умножение на характеристическую функцию).
Проблема в том, что два соседних отрезка пересекаются. А одноточечное множество - их пересечение - может иметь положительную меру. Поэтому интеграл Лебега-Стилтьеса обычно определяют как интеграл по

(или
![$(a,b]$ $(a,b]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/f/c6f523011785edb445cc341039ecd26e82.png)
, смотря с какой стороны непрерывна функция распределения), при этом получается аддитивная функция отрезка, но получаются противоречия с интегралом Римана-Стилтьеса всё равно. Подумайте

Ну или почитайте Сакса, где сравнивают с интегралом Перрона-Стилтьеса, по смыслу то же самое.
upd: А может быть и фигню я пишу. Не, наверное, если мы делаем всё аккуратно, то даже противоречия не получается, пока мы ограничиваемся функциями распределения, а не произвольными функциями ограниченной вариации, и определяем интеграл Стилтьеса по полуотрезку в нужную сторону. Но все равно нужно в этом месте лишний раз думать каждый раз, подводные камни присутствуют.
Делается это примерно так
Кстати, я вот в книжке Богачёва (основы теории меры) видел какое-то более прямое доказательство вроде.
Ну ладно, пока вопрос открытый
