Топология, в которой функция sign является непрерывной

[Everest]

Здравствуйте, думаю над таким вопросом:

Как можно ввести топологию, в которой бы функция $\mathop{\mathrm{sign}} x$ являлась непрерывной. Пока не получается, поэтому прошу помощи с этим вопросом.

[mihailm]

все открыто

[ewert]

mihailm в сообщении #493131 писал(а):

все открыто

Это, пожалуй, крутовато будет. Ведь все прообразы сигнума -- наперечёт. Вот их-то и надо объявить открытыми.

[Everest]

Т.е. например на такой топологии $\{R, \varnothing, (-\infty,0), (0, +\infty)\}$?

[alcoholist]

Everest в сообщении #493129 писал(а):

Как можно ввести топологию, в которой бы функция $sgn x$ являлась непрерывной

Тут, формально, две топологии нужно описывать -- в образе и в прообразе

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Кстати, просветите неграмотного — часто ли приходится рассматривать отображения из $X$ с одной топологией в $X$ же, но с другой топологией?

[alcoholist]

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #493163 писал(а):

Кстати, просветите неграмотного — часто ли приходится рассматривать отображения из $X$ с одной топологией в $X$ же, но с другой топологией?

В жизни нечасто)

Но влияние усиления/ослабления топологии в образе/прообразе на непрерывность -- прекрасные упражнения для семинарских занятий

[ewert]

Everest в сообщении #493144 писал(а):

Т.е. например на такой топологии $\{R, \varnothing, (-\infty,0), (0, +\infty)\}$?

Нет. Там и скобочки не все правильны, и сам нолик (гордый такой) зачем-то потерян.

[Padawan]

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #493163 писал(а):

Кстати, просветите неграмотного — часто ли приходится рассматривать отображения из $X$ с одной топологией в $X$ же, но с другой топологией?

Я бы ответил, что часто. Примеры в функциональном анализе. Там на одном и том же множестве куча разных топологий бывает -слабые, сильные, равномерные и т.д.