Топологические инварианты

[xmaister]

Здравствуйте! Никак не пойму, как установить, что, например, плотность топологического пространства является топологическим инвариантом. Вообще непонятно, какие свойства будут этими инвариантами? Можно ли привести пример инварианта класса непрерывных отображений, не являющегося топологическим инвариантом?

Благодарю.

[Someone]

Нельзя, конечно. Гомеоморфизмы являются непрерывными отображениями, поэтому инвариант непрерывных отображений будет и инвариантом топологическим.

[xmaister]

Да, это я глупость написал. Я имел ввиду, существует ли свойство, которое сохраняется в сторону образа, но не сохраняется в сторону прообраза? И вообще, как определять, является ли свойство $\mathcal{P}$ инвариантом непрерывных отображений?

[alcoholist]

компактность, связность

[xmaister]

Разве связность не сохраняется в сторону прообраза?

[alcoholist]

топологические инварианты (они же -- топологические свойства) это то, что сохраняется при гомеоморфизме

обратный пример: $\tan:(-\pi/2;\pi/2)\to \mathbb{R}$ -- гомеоморфизм, однако одно пространство ограничено, а другое -- нет

-- Сб окт 15, 2011 22:56:53 --

нет, прообраз точки при непрерывном отображении $x\mapsto x^2$ прямой в себя может быть и несвязен

[xmaister]

alcoholist в сообщении #492970 писал(а):

нет, прообраз точки при непрерывном отображении $x\mapsto x^2$ прямой в себя вообще говоря несвязен

Т.е. если пространства $(X,\tau)$,$(Y,\tau ')$ гомеоморфны, то одно может быть связно а второе нет??

[alcoholist]

xmaister в сообщении #492973 писал(а):

Т.е. если пространства $(X,\tau)$,$(Y,\tau ')$ гомеоморфны, то одно может быть связно а второе нет??

нет, разумеется: не всякое непрерывное отображение -- гомеоморфизм:)

А в чем вопрос, собственно?

[xmaister]

alcoholist в сообщении #492976 писал(а):

нет, разумеется: не всякое непрерывное отображение -- гомеоморфизм:)

А в чем вопрос, собственно?

Т.е. не факт, что инвариант непрерывных отображений будет топологическим? Вопрос именно в этом.
Т.е. наоборот, топологический инвариант- не всегда является инвариантом непрерывных отображений?

[xmaister]

Всё, я разобрался, у меня были проблемы с логикой. Всем спасибо, за помощь