Свойства подмножеств нормированных пространств

[MaximVD]

Проверьте, пожалуйста, мои рассуждения.
1. Пусть $(E, \| \cdot \|)$ бесконечномерное нормированное пространство. Известно, что замкнутый единичный шар в этом пространстве не компактен, поэтому и любой замкнутый шар не компактен, т. к. его можно непрерывно отобразить на замкнутый единичный шар (с помощью переноса и растяжения-сжатия, которые непрерывны в нормированном пространстве), а при непрерывном отображении, образ компактного множества - компактное множество. Так?
Тогда, если $A \subset E$ - компактно, то у него не может быть внутренних точек, иначе бы множество $A$ содержало бы некоторый открытый шар, а следовательно и замкнутый шар меньшего радиуса, который не компактен, что противоречит компактности множества $A$.

2. Пусть $E_0 \subset E$ - собственное, замкнутое подпространство ($E$ - как и выше). Тогда $E_0$ нигде не плотно в $E$. Действительно, поскольку подпространство $E$ собственно, то существует $x \in E \setminus E_0$, $\| x \| = 1$. Поскольку $E_0$ замкнуто, то существует $a > 0$ такое, что $U(x, a) = \{ y \in E \mid \| x - y \| < a \} \cap E_0 = \varnothing$. (Можно считать, что $a < 1$).
Берём любое открытое множество $U \subset E$. Если $U \cap E_0 = \varnothing$, то $E_0$ не плотно в $U$. Если же $U \cap E_0 \ne \varnothing$, то возьмём какое-нибудь $y \in U \cap E_0$. Поскольку $U$ открыто, то существует $r > 0$ такое, что
$U(y, r) \subset U$. Тогда $y + \frac{r}{4} x + \frac{r}{4} U(x, a) = U(y + \frac{r}{4}x, \frac{r a}{4}) \subset U(y,r) \subset U $. Так как $y \in E_0$, то $y + \frac{r}{4} x \notin E_0$, поэтому $U(y + \frac{r}{4}x, \frac{r a}{4}) = y + \frac{r}{4} x + \frac{r}{4} U(x, a)$ не пересекается с $E_0$, значит опять $E_0$ не плотно в $U$. Так как $U$ произвольно, то $E_0$ нигде не плотно в $E$.

3. Пусть теперь $(E, \| \cdot \|)$ банахово пространство, оператор $S \in \mathcal{B}(E)$ и образ оператора $S$ всюду плотен в $E$ и не совпадает с ним. Покажем, что коразмерность $\operatorname{Im}(S) = E_0$ бесконечна. Во-первых, коразмерность $E_0$ не равна нулю, поскольку оно не совпадает с $E$. Далее, есть известная теорема - если образ непрерывного оператора, действующего в банаховом пространстве, имеет конечную коразмерность, то он замкнут. Поэтому, если бы образ оператора $S$ имел конечную коразмерность, то он был бы замкнут, но это бы противоречило тому, что образ всюду плотен в $E$ и не совпадает с ним. Значит образ оператора $S$ имеет бесконечную коразмерность.
Более того, не существует собственного замкнутого подпространства $E_1 \subset E$ (даже с конечной коразмерностью) такого, что $\operatorname{Im}(S) \subset E_1$, поскольку по предыдущему пункту $E_1$ нигде ни плотно, а подмножество нигде ни плотного множества само нигде ни плотно.

(Оффтоп)

(Этот факт поражает моё воображение, если он, конечно, верен).