Парадоксы силы

[Инт]

Парадокс релятивистской силы

Предлагаю к вниманию форумчан два парадокса «релятивистской силы. Ставлю задачу так: объяснить парадоксы строго в рамках принятой релятивистской теории. И я надеюсь получить от форумчан точное разрешение парадоксов именно в принятой теории, и высказываю предположение, что не получу такового. В любом случае, каков бы ни был результат обсуждения, разбор задачи будет полезен всем: научным работникам, преподавателям, студентам.

Прежде чем дать формулировки парадоксов, отметим:

- плотность силы Лоренца определяется как величина $\rho\overrightarrow{E} + \overrightarrow{j}\times\overrightarrow{B}$, где: величина $\rho, \overrightarrow{E}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{B}$ – плотность заряда, напряжённость электрического поля, плотность тока и вектор магнитного поля соответственно; это выражение есть релятивистское выражение для пространственной плотности силы;

- закон изменения импульса частицы под действием внешнего электромагнитного поля можно записать в двух эквивалентных формах: $\frac{d\overrightarrow{p}}{dt} = q\overrightarrow{E} + q\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B}$ и $\frac{d\overrightarrow{p}}{ds} = q\gamma\overrightarrow{E} + q\gamma\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B}$, где $q$ – заряд частицы, $\overrightarrow{v}$ – скорость частицы, $\gamma$ – гамма-фактор, $\overrightarrow{p}$ – импульс частицы, $\frac{d\overrightarrow{p}}{ds}$ – производная по интервалу, $\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}$ – производная по времени;

- «силой» называется величина равная производной по времени от импульса тела в той системе отсчёта, в которой рассматривается движение, т.е. векторная величина $\overrightarrow{F} = \frac{d\overrightarrow{p}}{dt}$; термин «сила» не применяется здесь к производной импульса по интервалу; сумма производных по времени от импульсов есть производная от суммы импульсов частиц в один момент времени, к которому привязаны частицы в фиксированной системе отсчёта, чем обоснуется процедура суммирования сил в тот самый момент и выражение для пространственной плотности силы;

- любая сила преобразуется при переходе между системами отсчёта в точности так же, как электромагнитная сила Лоренца, поскольку, какова бы ни была природа силы, её действие можно сделать не различимым с действием силы Лоренца.

I. Парадокс поперечной силы

Пусть поверхность плиты, массой $M$, совпадает с плоскостью $z=0$, где $x, y, z$ – координаты декартовой ортогональной системы координат. Пусть в системе отсчёта $S=S(\overrightarrow{0})$, в которой плита покоится, включено постоянное во времени электрическое поле $\overrightarrow{E}$ параллельное оси $z$, одинаковое во всём пространстве, а магнитное поле $\overrightarrow{B}$ везде равно нулю.

Пусть стержень с зарядом $=+q$, распределённым равномерно по объёму стержня, движется со скоростью $\overrightarrow{v}$, а другой стержень с противоположным равномерно распределённым зарядом $=-q$ движется со скоростью $\overrightarrow{u}\neq\overrightarrow{v}$ по поверхности плиты. Сокращая длину стержней до пренебрежимо малой длины, сохраняя заряды, будем считать, что стержни совпали в одной пространственно-временной точке (т.е. на самом деле, находятся в достаточно малой, но конечной области некоторый достаточно малый, но конечный промежуток времени). Из аксиом СТО (в которые включаем всю электродинамику Максвелла и выражение для электромагнитной силы Лоренца) выводится, что заряд стержней не меняется при переходах между инерциальными системами отсчёта, и электрическая сила, действующая на каждый стержень, не зависит от скорости такого стержня. Пусть так же силы, действующие на стержни, передаются на плиту механическим способом. Тогда, в указанной пространственно-временной точке, сила $F$, действующая на плиту, в системе отсчёта $S(\overrightarrow{0})$ равна нулю, а в системе отсчёта $S(\overrightarrow{u})$, движущейся со скоростью $\overrightarrow{u}$, абсолютная величина силы равна величине $F^{\prime} = q \gamma(u) v^{\prime} u E$, где $q, v^{\prime}, u, E$ – модули скоростей и электрического поля, $\gamma(u) = (1-u^{2})^{\frac{-1}{2}}$.

Таким образом, из предположения о независимости электрической силы от скорости частицы вытекает, что в «покоящейся системе отсчёта» сила, действующая на плиту, и ускорение плиты могут быть установлены сколь угодно малыми, а в «движущейся системе отсчёта» сила, действующая на плиту, будет конечной величиной и таким же будет ускорение плиты.

Так как массу каждого стержня $m$ можно считать сколь угодно малой по отношению к массе плиты, то плита будет двигаться с ускорением по оси $z$, не зависящим от скорости стержня, с точностью до исчезающих по массе $m$ членов. Появление электромагнитной массы стержня, сопоставимой с обычной массой (эффект, сводимый к появлению силы, действующей со стороны стержня на себя, пропорциональной ускорению стержня), исключим тем, что заряд каждого стержня устремим к нулю достаточно быстро по отношению к размерам стержня, остановившись на каком-то достаточно малом значении заряда (и пользуясь полями Льенара-Вихерта, убедимся, что указанный электромагнитный эффект исчезает). Какой бы малости ни был этот заряд $q$, можно сохранять произведение $qE$ как постоянную заранее заданную величину. Таким образом, будет сохраняться величина силы, с которой плита выталкивается в направлении $z$.

Избыточную силу, получаемую от рассмотрения ситуации в разных системах отсчёта, «дефект сил» можно выставить (подбором $q$ и $E$) как заранее заданную фиксированную величину, которая на малом промежутке времени будет приводить к заметному, большому ускорению плиты в движущейся системе отсчёта. Скорости частиц $v$ и $u$ относительно плиты можно выбрать много меньше не только скорости света, но и много меньше скорости звука в плите. Поэтому, плита в разных системах отсчёта может рассматриваться как абсолютно твёрдое тело, все частицы которого движутся с одним и тем же ускорением и одновременно.

II. Парадокс продольной силы

Пусть на ту же плиту, что была описана, в покоящейся относительно плиты системе отсчёта $S$ вдоль оси $x$-ов действуют две противоположные силы, равные по абсолютной величине. Т.е., пусть сила, действующая на плиту «вправо» есть величина $F_{1} = F$, а сила, действующая на плиту «влево», есть величина $F_{2} = -F$. Пусть точка приложения силы, которая действует вправо, движется так же вправо со скоростью $v$. А точка приложения силы $F_{2}$ пусть покоится относительно плиты. Движение первой силы, пусть вызывает трение о плиту и выделение тепловой энергии, уходящей полностью внутрь плиты. В этих условиях, так как плита покоится, её импульс не меняется, и сумма действующих на плиту сил равна скорости изменения импульса плиты, т.е. нулю.

Перейдём в систему отсчёта $S^{\prime}$, движущейся со скоростью $v$. Теперь, точка приложения первой силы покоится, а точка приложения второй силы движется со скоростью $-v$, т.е. движется влево. Вторая сила теперь совершает работу против трения и передаёт в единицу времени в плиту тепловую мощность $N^{\prime} \neq 0$. Релятивистской аксиомой является, что переданная тепловая энергия обладает инертностью, т.е. плите с течением времени передаётся некоторая масса. Следовательно, так как скорость плиты в $S^{\prime}$ есть величина $-v \neq 0$, то импульс плиты $P^{\prime}$ в движущейся системе отсчёта увеличивается за каждую единицу времени по мере передачи тепловой энергии. Т.е. $\frac{dP\prime}{dt\prime} = -\frac{dM^\prime}{dt\prime}v \neq 0$, где $dM^{\prime}$ и $dP^{\prime}$ – приращение инертной массы и импульса плиты за время $dt^{\prime}$. По лоренцевому закону преобразования продольных компонент сил, в системе отсчёта $S^{\prime}$ получаем, с одной стороны, что сила $F_{1}$ преобразована в силу $F_{1}^{\prime} = F$, а сила $F_{2}$ – в силу $F_{2}^{\prime} = -F$. Т.е. продольные компоненты сил не изменяются от перехода между системами отсчёта. Т.е. сумма сил будет равна нулю. Но, с другой стороны, по другой релятивистской аксиоме, скорость изменения импульса должна быть равна сумме сил, т.е. должно быть $\frac{dP\prime}{dt} = F_{1}^{\prime}+F_{2}^{\prime}$. Противоречие.

Дополнительные замечания и задачи

Естественно предположить, для того, чтобы ликвидировать парадокс, что поперечная чисто электрическая сила должна зависеть от скорости заряженной частицы. Интересно рассмотреть поэтому, почему можно говорить, что «причиной появления магнитного поля является зависимость электрической силы от скорости частицы». В самом деле, предположим, чисто гипотетически, и при малых скоростях, что в описанной ситуации электрическая сила зависит от скорости по параболическому закону: $F = qE(1+bv^2)$. Перейдём в систему отсчёта $S(u)$, предполагая, для определённости, что сила сохраняет своё значение в $S(u)$. В этой системе отсчёта:

$$F = qE(1+b(u+v^{\prime})^2) = qE(1+bu^2+bv^{\prime 2}) + 2qEbuv^{\prime} = qE^{\prime}(1 + b^{\prime} v^{\prime}) + q v^{\prime} B^{\prime}$$

где: $B^{\prime} = 2bEu$ – величина, которая интерпретируется как магнитное поле в $S(u)$, $E^{\prime} = E(1+bu^2)^{-1}$ – величина, которая интерпретируется как электрическое поле в $S(u)$. Иными словами, «парабола электрической силы» $F = F(v)$ при сдвиге аргумента $v$ на величину $u$, т.е. при переходе в другую систему отсчёта, переходит в функцию $F^{\prime} = F^{\prime}(v^{\prime})$, которая складывается из «параболы электрической силы в новой системе отсчёта» и из «линейного закона», который можно интерпретировать как «включение магнитного поля». В общем случае, зависимость силы $F$ от скорости $v$ при сдвиге аргумента приведёт к зависимости от $v^{\prime}$ такой, что вблизи значения $u$ будет наблюдаться локально линейная зависимость силы от скорости.

Парадокс продольной силы заманчиво объяснить следующим способом: Когда силы сдавливают плиту, то в ней создаётся напряжение. Можно считать, что обе силы равномерно распределены по сечению плиты, перпендикулярному направлению движения одной из сил. И таким образом, в объёме между сечениями, на которых распределены силы, создастся давление. Это давление можно интерпретировать как некоторую запасённую энергию в единице объёма. Тогда, убыль такой энергии, как легко убедиться, в точности равна выделенной тепловой энергии. Отсюда, масса плиты в движущейся системе отсчёта просто не меняется. Но тогда получаем, что простое включение давления в теле привлекает в тело заметную энергию. Если, к примеру, 1 тонну груза поместить на кусок железа в 100 кг, то при снятии груза, выделенная энергия такова, что если будет переведена в тепло, она нагреет этот кусок железа примерно на 200 градусов. Но если энергия в тепло не переходит – выводим, что она излучается в пространство, и может быть легко извлечена обратно в тело из пространства. Пока я не вижу последовательного логического объяснения причины такого излучения-изъятия, если оно имеется. К примеру: пусть тело сжато некоторой «взведённой» пружиной. Взведение пружины до присоединения её к телу означает передачу пружине энергии. Когда пружину «отпустили» и она сжала тело, оставаясь сама по-прежнему сжатой, получаем, что энергия откуда-то появилась ещё и в сжатом теле. В любом случае, гипотеза перехода энергии из тела в пространство и обратно должна привлекаться как совершенно новый необычный постулат.

Предлагаю так же рассмотреть следующие задачи, на пути решения которых, возможно найдётся релятивистское объяснение парадоксам, уже выходящее за рамки ныне принятого определения релятивистской силы.

Задача 1. Пусть $F$ означает силу, действующую на тело, $N$ – передаваемую телу мощность, $v$ – скорость тела (скорость света считаем $= 1$). Пусть импульс тела $P$ параллелен скорости $v$ и силе $F$. Доказать, что из предположения о том, что передаваемая телу энергия пропорциональна передаваемой массе, и из гипотезы $\frac{dP}{dt} = F + Nv$ вытекает, что продольная компонента силы сохраняется при переходах между системами отсчёта.

Предположение, что при нулевой силе, действующей на тело, его импульс может увеличиваться, оправдывается даже в классическом случае, т.е. когда телу передаётся дополнительная масса, при том, что на каждую часть тела и каждую часть передаваемой массы действует нулевая сила.

Задача 2. Доказать, что если $\overrightarrow{\frac{dP}{dt}}= \overrightarrow{F}$, и если поперечная составляющая силы не меняется от перехода между системами отсчёта, имеющими скорости параллельные одной прямой, то $\overrightarrow{F}$ и $N$ должны быть компонентами лоренц-вектора, т.е. составлять пространственную и временную часть некоторого пространственно-временного вектора, преобразующегося по лоренцевым правилам: $F_{x}^{\prime} = \gamma(F_{x}-vN)$, $N^{\prime} = \gamma(N-vF_{x})$, $F^{\prime}_{y} = F_{y}$, $F^{\prime}_{z} = F_{z}$.

Заметим, что в современном определении релятивистская сила не является 4-вектором (лоренц-вектором, в моей терминологии). Лоренц-вектором является математический объект, называемый 4-силой, который получается из обычной релятивистской силы формальным домножением на $\gamma$. Этот объект предназначен лишь для того, чтобы продемонстрировать некий «формальный танец», т.е. то, что он удовлетворяет преобразованиям Лоренца. Зачем делается это бесполезное домножение, физики не знают. То, что 4-сила совершенно бесполезна для вычислений демонстрирует и тот факт, что по принятой теории складывать 4-силы в разных пространственных точках в один момент времени нельзя.

Литература.

1. Фок. В.А. Теория пространства, времени и тяготения. Москва 1961. с. 106, 150.

[vvb]

Инт в сообщении #491883 писал(а):

- закон изменения импульса частицы под действием внешнего электромагнитного поля можно записать в двух эквивалентных формах: $\frac{d\overrightarrow{p}}{dt} = q\overrightarrow{E} + q\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B}$ и $\frac{d\overrightarrow{p}}{ds} = q\gamma\overrightarrow{E} + q\gamma\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B}$, где $q$ – заряд частицы, $\overrightarrow{v}$ – скорость частицы, $\gamma$ – гамма-фактор, $\overrightarrow{p}$ – импульс частицы, $\frac{d\overrightarrow{p}}{ds}$ – производная по интервалу, $\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}$ – производная по времени;

А как дела с размерностью $\frac {d\overrightarrow{p}}{ds}$?

[Инт]

vvb в сообщении #491899 писал(а):

А как дела с размерностью $\frac {d\overrightarrow{p}}{ds}$?

Нормально дела. Скорость света считаем = 1. $ds^2 = dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$

[vvb]

Инт в сообщении #491906 писал(а):

Нормально дела. Скорость света считаем = 1.

Погодите, размерность импульса $LMT^{-1}$, размерность интервала какая?

[EvilPhysicist]

Инт в сообщении #491883 писал(а):

плотность силы Лоренца определяется как величина $\rho\overrightarrow{E} + \overrightarrow{j}\times\overrightarrow{B}$

Мне думается, что отсюда следует, что размерность плотности заряда и плотности тока совпадают. Вот только $ [ \rho]=\left[ \cfrac{\partial q}{\partial v} \right]= Q L^{-3} $, а размерность $ [j]= [e u]= Q L T^{-1} $, что при $c=1$ перейдёт в $ [\rho]=Q L^{-3} \not = [j] = Q $

[Инт]

Размерность интервала = размерности длины. Время, если хотите, измеряется в единицах длины. Т.е. то количество единиц длины, которое прошёл свет, за измеряемое время, и есть количество единиц времени. Размерности, других величин, конечно, так же слегка изменятся. Это теоретическая система единиц, пользоваться которой удобно, чтобы не тащить в формулах константу $c$.

-- Ср окт 12, 2011 20:24:38 --

Инт в сообщении #491883 писал(а):

1 тонну груза поместить на кусок железа в 100 кг, то при снятии груза, выделенная энергия такова, что если будет переведена в тепло, она нагреет этот кусок железа примерно на 200 градусов.

Тут что-то не то ляпнул. Нагрев железа будет на порядки меньше. Но заметен.

[Инт]

Ошибка - Ошибки не было. Обдумал вопрос «о нагревании железа». Там первоначально всё верно было. Т.е. 100 кг. можно нагреть до 200 К. Детали таковы: Пусть груз весом $G$ давит на кусок металла, площадь сечения которого есть $S$, а длина $L$. Плотность гипотетической энергии в объёме металла есть величина $\frac{G}{S}$. Энергия, которая по предположению выделится в куске металла объёма $V=SL$ равна $GL$. Теплоёмкость железа примерно 500 Дж на кг-кельвин, плотность, грубо, 8 т на кубический метр. Отсюда, кусок сечением в 1 квадратный сантиметр нагреется примерно на 20 градусов. Такое сечение легко выдержит нагрузку в 1 т. Вовсе не обязательно греть 100 кг., когда $L$ большое, и трудно установить груз на таком длинном стержне. Температура нагрева зависит только от сечения, так как сокращая длину, мы сокращаем и массу нагреваемого металла. Нагрузку в 1 т выдержит и ещё меньшее сечение, например, в 10 кв. мм. Тогда, гипотетическое нагревание будет уже в сотни градусов.

[Инт]

Складывается впечатление, что дополнительная масса тела и дополнительный импульс появляются лишь от возникновения в теле натяжений, вообще говоря, не обязательно электромагнитной природы. Иными словами, даже если все частицы тела покоятся, но в теле не равен нулю тензор механических натяжений, то это может означать, что тело захватило избыток массы или наоборот, вывела некоторую массу вне себя. По этому же рабочему предположению, если такие натяжения движутся, то они создают дополнительный импульс.

Дополнительное наводящее соображение на этот счёт: Рассмотрим в «покоящейся» системе отсчёта $S$ симметричный стержень, вращающийся в плоскости, содержащей ось $x$-ов. Перейдём в систему отсчёта $S^{\prime}$, движущуюся вдоль оси $x$-ов. В системе отсчёта $S^{\prime}$, если следовать принятым определениям, релятивистский импульс стержня не сохраняется. Если всё же использовать современное определение релятивистского импульса, данное Пуанкаре, то, почти не остаётся ничего другого, как предположить, что дополнительный неучтённый импульс содержится в стержне благодаря возникшим механическим релятивистским натяжениям. Конечно, «предположить» ещё не значит доказать, что отсутствуют противоречия. В частности, «парадокс поперечной силы» вряд ли можно объяснить подобными натяжениями, так как, чем бы ни был избыточный импульс, он есть как жёстко заданный «источником силы».

[EvilPhysicist]

Вы таки проигнорировали мое сообщение, хотелось бы услышать ваш коментприй.

EvilPhysicist в сообщении #491912 писал(а):

Инт в сообщении #491883 писал(а):

плотность силы Лоренца определяется как величина $\rho\overrightarrow{E} + \overrightarrow{j}\times\overrightarrow{B}$

Мне думается, что отсюда следует, что размерность плотности заряда и плотности тока совпадают. Вот только $ [ \rho]=\left[ \cfrac{\partial q}{\partial v} \right]= Q L^{-3} $, а размерность $ [j]= [e u]= Q L T^{-1} $, что при $c=1$ перейдёт в $ [\rho]=Q L^{-3} \not = [j] = Q $

[Инт]

EvilPhysicist в сообщении #491912 писал(а):

Инт в сообщении #491883 писал(а):

плотность силы Лоренца определяется как величина $\rho\overrightarrow{E} + \overrightarrow{j}\times\overrightarrow{B}$

Мне думается, что отсюда следует, что размерность плотности заряда и плотности тока совпадают. Вот только $ [ \rho]=\left[ \cfrac{\partial q}{\partial v} \right]= Q L^{-3} $, а размерность $ [j]= [e u]= Q L T^{-1} $, что при $c=1$ перейдёт в $ [\rho]=Q L^{-3} \not = [j] = Q $

У Вас не правильно указано, что $ [j]= [e u]= Q L T^{-1} $. Так как $ [j]= [\rho u]$, и поскольку, размерности времени и длины совпадают, и скорость безразмерна, то размерность плотности тока равна размерности плотности заряда.

[EvilPhysicist]

Инт в сообщении #492127 писал(а):

Так как $ [j]= [\rho u]$

Хорошо.

[Инт]

Может уже какие-нибудь беспощадные аргументы против пора приводить?

[Инт]

Интересно конечно когда сам с собой разговариваешь. Просто ещё одно полезное замечание сделаю: Каково бы ни было определение импульса точечной частицы, сделанное через её скорость и массу, в случае с вращающимся стержнем, который я упоминал, импульс стержня не сохраняется во времени. Этот вывод легко проверить пользуясь лишь симметрией стержня. Таким образом, полезно проверить гипотезу, в которой импульс частицы зависит не только от её скорости, но и от сил, которые действуют на частицу или других динамических характеристик.

[Инт]

Стоит поправиться: только те определения импульса себя так ведут, которые сохраняют поперечную составляющую при переходах между системами отсчёта.

[Инт]

Стоит ещё раз поправиться: По крайней мере для всех таких определений, для которых сохраняется поперечный импульс при переходах между системами отсчёта, импульс вращающего стержня не сохраняется, если не учитывать возможный импульс, создаваемый внутренними натяжениями в стержне. Другие определения пока не исключены.