f(S+T)=f(S)+f(T)

[spyphy]

задача древняя, конечно (из элементарной теории множеств), но я таки до сих пор не могу понять всех ее тонкостей. (или точнее, как бы это так заформализовать, чтобы и никаких сомнений не возникло?)
Поэтому приведу подробное (предполагаемое) решение

1) $ f(S \cup T) \subset f(S) \cup f(T) $
$ y \in f(S \cup T) \Leftrightarrow \exists x \in S \cup T \Leftrightarrow (x \in S) \vee (x \in T) \Rightarrow (y=f(x) \in f(S)) \vee (y=f(x) \in f(T)) \Leftrightarrow y \in f(S) \cup f(T) $
Здесь вроде всё понятно.
Предполагаю, что
$(x \in S) \vee (x \in T) \Rightarrow (y=f(x) \in f(S)) \vee (y=f(x) \in f(T))$
можно заменить на
$(x \in S) \vee (x \in T) \Leftrightarrow (y=f(x) \in f(S)) \vee (y=f(x) \in f(T))$
и получить $ f(S \cup T) = f(S) \cup f(T) $, хотя это уже не столь очевидный переход.

2) Почти аналогичная картина имеет место для $ f(S \cap T) \subset f(S) \cap f(T) $
$ y \in f(S \cap T) \Leftrightarrow \exists x \in S \cap T \Leftrightarrow (x \in S) \wedge (x \in T) \Rightarrow (y=f(x) \in f(S)) \wedge (y=f(x) \in f(T)) \Leftrightarrow y \in f(S) \cap f(T) $

Собственно вопрос. Почему в 1-м случае мы можем заменить $\Rightarrow$ на $\Leftrightarrow$, а во 2-м не можем?

[Хорхе]

Ну тут у Вас неаккуратно написано в том месте, где $y\in f(\cdots)$, от этого и непонимание. Если аккуратно все написать, то станет понятно (во втором случае может случиться $y=f(x_1)=f(x_2), x_1\in S, x_2\in T, x_1\neq x_2$).

[spyphy]

Хорхе в сообщении #492526 писал(а):

Ну тут у Вас неаккуратно написано в том месте

а точно, я там когда переписывал, пропустил $ y=f(x) $ в $\exists x \in S \cup T$, это как бы подразумевалось.
Т.е. должно быть:
1) $ f(S \cup T) \subset f(S) \cup f(T) $
$ y \in f(S \cup T) \Leftrightarrow \exists x \in S \cup T: y=f(x) \Leftrightarrow (x \in S) \vee (x \in T) \Rightarrow $
\Rightarrow (y=f(x) \in f(S)) \vee (y=f(x) \in f(T)) \Leftrightarrow y \in f(S) \cup f(T) $

2) для $ f(S \cap T) \subset f(S) \cap f(T) $
$ y \in f(S \cap T) \Leftrightarrow \exists x \in S \cap T: y=f(x) \Leftrightarrow (x \in S) \wedge (x \in T) \Rightarrow $
$ \Rightarrow (y=f(x) \in f(S)) \wedge (y=f(x) \in f(T)) \Leftrightarrow y \in f(S) \cap f(T) $

-- Пт окт 14, 2011 20:16:18 --

Хорхе в сообщении #492526 писал(а):

во втором случае может случиться $y=f(x_1)=f(x_2), x_1\in S, x_2\in T, x_1\neq x_2$).

ага, и при этом может оказаться, что $ x_1 \notin T$, а тогда не верно, что $\exists x: (x \in S) \wedge (x \in T) $. Вроде ясно.

В 1-м случае мы имеем переход
$ (\exists x_1 \in S: f(x_1)=y) \vee (\exists x_2 \in T: f(x_2)=y) \Rightarrow \exists x \in S \cup T: y=f(x) $
Вот это даже не могу сказать толи понимаю, толи не понимаю... А как узнать что я это понимаю? По идее за этим должна стоят более серьезная мат.логика, которую я возможно не так хорошо знаю.

[spyphy]

Не, я конечно понимаю как это наглядно выглядит, если кружками и стрелочками рисовать. Но вот интересно, если это доказывать строго в рамках аксиоматической теории множеств, то много ли листов займёт? :) Надо будет как-нибудь попробывать...

[arseniiv]

spyphy в сообщении #492592 писал(а):

если это доказывать строго в рамках аксиоматической теории множеств, то много ли листов займёт? :)

В какой из аксиоматик?

[ellipse]

$y \in f(S) \cap f(T) \Rightarrow (y \in f(S)) \wedge (y \in f(S)) \Rightarrow $
$ \Rightarrow (\exists x_1 \in S \ f(x_1)=y) \wedge (x_2 \in T \ f(x_2)=y)$ дальше проблема в том, что вообще говоря $x_1$ не равно $x_2$. Но если предположить, что $f$ - иньективно, тогда из $y=f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2 \in T \cap S \Rightarrow y \in f(T \cap S) $

[spyphy]

arseniiv в сообщении #492605 писал(а):

В какой из аксиоматик?

а в любой. хотя сомневаюсь что такие придумали (там где отображения фигурируют)...

[Joker_vD]

spyphy в сообщении #492621 писал(а):

а в любой. хотя сомневаюсь что такие придумали (там где отображения фигурируют)...

Т.е. вы не знаете, как в теории множеств определяются отображения? Отображение $f\colon X\to Y$ — это подмножество $f\subset X\times Y$, такое, что $((x,y_1) \in f) \wedge ((x,y_2)\in f)\Longrightarrow y_1=y_2$.

[spyphy]

Joker_vD в сообщении #492647 писал(а):

Т.е. вы не знаете, как в теории множеств определяются отображения?

так точно. Теорию множеств пока не изучал, а в учебниках по алгебре отображения и бинар. операции определяются независимо. Придется значит разбираться. Какую литературу посоветуете по теме?

[Joker_vD]

Хм. Лично я прочитал книжку Халмоша "Naive Set Theory", и мне этого хватило — благо в дебри ТМ я лезть не хочу. Но она на английском, русского перевода нет. В принципе, определение отображения я привел выше, оно совершенно стандартное, в любой книге, где оно строго-строго определяется, оно определяяется именно так.