Сечение n-куба

[venco]

Задача навеяна темой http://dxdy.ru/topic49958.html.
Найти объём максимального (n-1)-сечения n-куба.

Для квадрата это $\sqrt 2$.
Для куба - $\frac{3\sqrt 3} 4$.
Для тессеракта, если не ошибаюсь, $\frac 4 3$.
Дальше не представляю, как считать, но напрашивается формула: $\frac {n\sqrt n}{2(n-1)}$. Опять-же, не представляю, как это доказать или проверить.

Есть идеи?

[Sonic86]

venco в сообщении #492292 писал(а):

Для куба - $\frac{3\sqrt 3} 4$.

А если взять 3-куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и сечение $AA_1CC_1$ то площадь сечения будет $\sqrt{2}> \frac{3 \sqrt{3}}{4}$. Правильно?
Можно, конечно, поискать $n-1$-объем того сечения, которое Вы имеете ввиду.

venco в сообщении #492292 писал(а):

Для тессеракта, если не ошибаюсь, $\frac 4 3$.

Угу, сечение - октаэдр с ребром $\sqrt{2}$.

venco в сообщении #492292 писал(а):

Есть идеи?

Использовать $n-1$-интеграл $\int \int\limits_{D_{n-1}} ... \int dV_{n-1}$ для $D_n: 0 \leqslant x_1,...,x_n \leqslant 1, x_1+...+x_n = \frac{n}{2}$. Только $dV_{n-1}$ надо выразить через $dx_1...dx_{n-1}$.

[Nilenbert]

Этот вопрос задавали на Mathoverflow: Area of cross-section (at midpoint perpendicular to longest diagonal) in the unit cube of dimension N

Есть доказательство, что сечение наибольшей площади имеет площадь $\sqrt{2}$, вот ссылка: What is known about unit cubes.

[ewert]

Надо посчитать объём части куба (произвольной размерности), отсекаемой плоскостью, перпендикулярной диагонали куба, в зависимости от расстояния до вершины. Это -- стандартная задача; в результате получится некий сплайн. Его наклон максимален в середине диагонали, и производная в этой точке и будет максимальной площадью сечения.

[venco]

Не заметил, что сечение, что я имею в виду, не является максимальным.
Я хотел посчитать сечение, перпендикулярное главной диагонали, и проходящее через центр n-куба, то самое, про что сказал ewert.
Спасибо, Nilenbert, за ссылку.