Многочлен инвариантный относительно группы перестановок

[ellipse]

Как найти многочлен $f\in\mathnn{Q}[x_1,...,x_n]$ (желательно наименьшей степени) инвариантный относительно данной подгруппы перестановок $G < S_n$, причем так, чтобы $f$ не был инвариантным относительно других подгрупп $S_n$, не содержащихся в $G$?

[Sonic86]

Пока вижу только так: если $G$ - группа, порожденная одним элементом $g$ и $g=(a_1...b_1)(a_2...b_2)...(a_s...b_s)$ (в т.ч. циклы длины один) и длины циклов взаимно просты, то можно взять одночлен $f=x_1^{a_1}...x_n^{a_n}$, в котором $a_i=a_j \Leftrightarrow i,j$ принадлежат одному циклу.

-- Чт окт 13, 2011 16:19:06 --

К примеру, каков $f$ для $G = \{ e,(12)(34)\}<S_4$? $f:=x_1x_3^2+x_2x_4^2$. А для $G = \{ e,(12)(3456)\}<S_4$?

[alcoholist]

Самый простой способ: пусть $f(X_1,\ldots,X_n)$ -- произвольный многочлен. Ясно, что многочлен

$$ f_G(X_1,\ldots,X_n)=\sum_{\sigma\in G}f(X_{\sigma(1)},\ldots,X_{\sigma(n)}) $$

обладает нужным свойством. Более того, любой $G$-инвариантный многочлен получается таким образом.

-- Чт окт 13, 2011 20:05:11 --

второе требование -- неинвариантности относительно других подгрупп -- выглядит загадочно

[Sonic86]

alcoholist в сообщении #492226 писал(а):

второе требование -- неинвариантности относительно других подгрупп -- выглядит загадочно

А почему? Я чего-то не вижу? ТС характеризовать каждую группу классом многочленов, еще лучше - ее удобным представителем. Идея интересная, лишь бы это было возможно.

[alcoholist]

Вот это требование $\exists \sigma\not\in G$, что $\sigma^*f$ неинвариантен и сбивает с толку

[JMH]

Может, чтобы отмести симметрические функции?

[alcoholist]

Так не только симметрические

-- Пт окт 14, 2011 06:30:42 --

Вот давайте возьмем многочлен $f(X_1,\ldots,X_n)=X_1+X_2^2+\ldots+X_n^n$ (совсем неинвараинтный). Правда ли, что $f_G$ будет инвариантен только относительно $G$?

[Sonic86]

alcoholist в сообщении #492298 писал(а):

Вот давайте возьмем многочлен $f(X_1,\ldots,X_n)=X_1+X_2^2+\ldots+X_n^n$ (совсем неинвараинтный). Правда ли, что $f_G$ будет инвариантен только относительно $G$?

По-моему, если взять $G=<(12)(3456)>$, то получится, что $f_G$ будет инвариантен еще и относительно $<(345)>$ - не подгруппы
Т.е. для $f_G$ при

$$f(X_1,\ldots,X_n)=X_1+X_2^2+\ldots+X_n^n$$

если $G$ содержит $g$, содержащее цикл $(a...b)$ (подгруппа $\cong \mathbb{Z}_l^+, l$ - длина цикла), то $f_G$ будет инвариантен не только относительно $<(a...b)>$, но и относительно всей группы перестановок множества $\{ a,...,b\}$.
А если взять $f:=x_1x_2+x_2^2x_3^2+...+x_n^nx_1^n$?

[Leox]

ellipse в сообщении #492183 писал(а):

Как найти многочлен $f\in\mathnn{Q}[x_1,...,x_n]$ (желательно наименьшей степени) инвариантный относительно данной подгруппы перестановок $G < S_n$, причем так, чтобы $f$ не был инвариантным относительно других подгрупп $S_n$, не содержащихся в $G$?

$G$-инвариант строится при помощи оператора усреднения по группе, который имет такой вид (оператор Рейнольдса)

$$ R=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} g. $$

Действие перестановки на многочлен определяется стандартно. Легко видеть что $g R( f)= R(f)$ для всех перестановок $g$ из группы,тоесть $R(f)$ - $G$-инвариант при любых $f.$

Чтобы получить инвариант минимальной степени начинайте с $f=x_1.$ Если $R(f)$ не равно нулю то тогда $R(f)$ и есть ответ. Если нет, то увеличивайте степень $f.$ $R(f)$ не будет инвариантом никакой другой подгруппы не содержащей $G.$

[alcoholist]

Leox в сообщении #492320 писал(а):

-инвариант строится при помощи

O!-)))

-- Пт окт 14, 2011 10:10:22 --

Leox в сообщении #492320 писал(а):

Если $R(f)$ не равно нулю то тогда $R(f)$ и есть ответ

особенно при $f=1$:)

[alcoholist]

ну, или $f$ -- симметрический... Тут в этом и тонкость

[Leox]

$f$ не может быть ни константой, ни другим инвариантом. Я же написал - берутся мономы.

[Sonic86]

Leox, ну возьмите Ваш $f(x)=x_1$, возьмите $G=<(12...n)>$ и получите $R(f) = x_1+...+x_n$ с группой не только $G$, но даже $S_n$.

[Leox]

Sonic86 в сообщении #492389 писал(а):

Leox, ну возьмите Ваш $f(x)=x_1$, возьмите $G=<(12...n)>$ и получите $R(f) = x_1+...+x_n$ с группой не только $G$, но даже $S_n$.

Нужно было чтобы инвариант не был инвариантом подгрупы не содержащейся в $G$. Причем здесь вся группа $S_n?.$

[alcoholist]

о том и речь

-- Пт окт 14, 2011 13:57:38 --

Leox, еще раз: построение $G$-инвариантных полиномов уже со вчерашнего дня тут приведено.

Осталось охарактеризовать такие полиномы, которые неинвариантны по отношению к действию элементов из $S_n\setminus G$