2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Многочлен инвариантный относительно группы перестановок
Сообщение13.10.2011, 17:33 
Как найти многочлен $f\in\mathnn{Q}[x_1,...,x_n]$ (желательно наименьшей степени) инвариантный относительно данной подгруппы перестановок $G < S_n$, причем так, чтобы $f$ не был инвариантным относительно других подгрупп $S_n$, не содержащихся в $G$?

 
 
 
 Re: Многочлен инвариантный относительно группы перестановок
Сообщение13.10.2011, 19:16 
Пока :oops: вижу только так: если $G$ - группа, порожденная одним элементом $g$ и $g=(a_1...b_1)(a_2...b_2)...(a_s...b_s)$ (в т.ч. циклы длины один) и длины циклов взаимно просты, то можно взять одночлен $f=x_1^{a_1}...x_n^{a_n}$, в котором $a_i=a_j \Leftrightarrow i,j$ принадлежат одному циклу.

-- Чт окт 13, 2011 16:19:06 --

К примеру, каков $f$ для $G = \{ e,(12)(34)\}<S_4$? $f:=x_1x_3^2+x_2x_4^2$. А для $G = \{ e,(12)(3456)\}<S_4$?

 
 
 
 Re: Многочлен инвариантный относительно группы перестановок
Сообщение13.10.2011, 20:00 
Аватара пользователя
Самый простой способ: пусть $f(X_1,\ldots,X_n)$ -- произвольный многочлен. Ясно, что многочлен
$$
f_G(X_1,\ldots,X_n)=\sum_{\sigma\in G}f(X_{\sigma(1)},\ldots,X_{\sigma(n)})
$$
обладает нужным свойством. Более того, любой $G$-инвариантный многочлен получается таким образом.

-- Чт окт 13, 2011 20:05:11 --

второе требование -- неинвариантности относительно других подгрупп -- выглядит загадочно

 
 
 
 Re: Многочлен инвариантный относительно группы перестановок
Сообщение13.10.2011, 20:14 
alcoholist в сообщении #492226 писал(а):
второе требование -- неинвариантности относительно других подгрупп -- выглядит загадочно

А почему? Я чего-то не вижу? ТС характеризовать каждую группу классом многочленов, еще лучше - ее удобным представителем. Идея интересная, лишь бы это было возможно.

 
 
 
 Re: Многочлен инвариантный относительно группы перестановок
Сообщение13.10.2011, 20:36 
Аватара пользователя
Вот это требование $\exists \sigma\not\in G$, что $\sigma^*f$ неинвариантен и сбивает с толку

 
 
 
 Re: Многочлен инвариантный относительно группы перестановок
Сообщение14.10.2011, 06:03 
Аватара пользователя
Может, чтобы отмести симметрические функции?

 
 
 
 Re: Многочлен инвариантный относительно группы перестановок
Сообщение14.10.2011, 06:18 
Аватара пользователя
Так не только симметрические

-- Пт окт 14, 2011 06:30:42 --

Вот давайте возьмем многочлен $f(X_1,\ldots,X_n)=X_1+X_2^2+\ldots+X_n^n$ (совсем неинвараинтный). Правда ли, что $f_G$ будет инвариантен только относительно $G$?

 
 
 
 Re: Многочлен инвариантный относительно группы перестановок
Сообщение14.10.2011, 06:52 
alcoholist в сообщении #492298 писал(а):
Вот давайте возьмем многочлен $f(X_1,\ldots,X_n)=X_1+X_2^2+\ldots+X_n^n$ (совсем неинвараинтный). Правда ли, что $f_G$ будет инвариантен только относительно $G$?

По-моему, если взять $G=<(12)(3456)>$, то получится, что $f_G$ будет инвариантен еще и относительно $<(345)>$ - не подгруппы :roll:
Т.е. для $f_G$ при $$f(X_1,\ldots,X_n)=X_1+X_2^2+\ldots+X_n^n$$ если $G$ содержит $g$, содержащее цикл $(a...b)$ (подгруппа $\cong \mathbb{Z}_l^+, l$ - длина цикла), то $f_G$ будет инвариантен не только относительно $<(a...b)>$, но и относительно всей группы перестановок множества $\{ a,...,b\}$.
А если взять $f:=x_1x_2+x_2^2x_3^2+...+x_n^nx_1^n$?

 
 
 
 Re: Многочлен инвариантный относительно группы перестановок
Сообщение14.10.2011, 08:55 
ellipse в сообщении #492183 писал(а):
Как найти многочлен $f\in\mathnn{Q}[x_1,...,x_n]$ (желательно наименьшей степени) инвариантный относительно данной подгруппы перестановок $G < S_n$, причем так, чтобы $f$ не был инвариантным относительно других подгрупп $S_n$, не содержащихся в $G$?


$G$-инвариант строится при помощи оператора усреднения по группе, который имет такой вид (оператор Рейнольдса)
$$
R=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} g.
$$
Действие перестановки на многочлен определяется стандартно. Легко видеть что $g R( f)= R(f)$ для всех перестановок $g$ из группы,тоесть $R(f)$ - $G$-инвариант при любых $f.$

Чтобы получить инвариант минимальной степени начинайте с $f=x_1.$ Если $R(f)$ не равно нулю то тогда $R(f)$ и есть ответ. Если нет, то увеличивайте степень $f.$ $R(f)$ не будет инвариантом никакой другой подгруппы не содержащей $G.$

 
 
 
 Re: Многочлен инвариантный относительно группы перестановок
Сообщение14.10.2011, 10:09 
Аватара пользователя
Leox в сообщении #492320 писал(а):
-инвариант строится при помощи

O!-)))

-- Пт окт 14, 2011 10:10:22 --

Leox в сообщении #492320 писал(а):
Если $R(f)$ не равно нулю то тогда $R(f)$ и есть ответ

особенно при $f=1$:)

 
 
 
 Re: Многочлен инвариантный относительно группы перестановок
Сообщение14.10.2011, 11:55 
Аватара пользователя
ну, или $f$ -- симметрический... Тут в этом и тонкость

 
 
 
 Re: Многочлен инвариантный относительно группы перестановок
Сообщение14.10.2011, 12:07 
$f$ не может быть ни константой, ни другим инвариантом. Я же написал - берутся мономы.

 
 
 
 Re: Многочлен инвариантный относительно группы перестановок
Сообщение14.10.2011, 12:39 
Leox, ну возьмите Ваш $f(x)=x_1$, возьмите $G=<(12...n)>$ и получите $R(f) = x_1+...+x_n$ с группой не только $G$, но даже $S_n$.

 
 
 
 Re: Многочлен инвариантный относительно группы перестановок
Сообщение14.10.2011, 13:06 
Sonic86 в сообщении #492389 писал(а):
Leox, ну возьмите Ваш $f(x)=x_1$, возьмите $G=<(12...n)>$ и получите $R(f) = x_1+...+x_n$ с группой не только $G$, но даже $S_n$.


Нужно было чтобы инвариант не был инвариантом подгрупы не содержащейся в $G$. Причем здесь вся группа $S_n?.$

 
 
 
 Re: Многочлен инвариантный относительно группы перестановок
Сообщение14.10.2011, 13:53 
Аватара пользователя
о том и речь

-- Пт окт 14, 2011 13:57:38 --

Leox, еще раз: построение $G$-инвариантных полиномов уже со вчерашнего дня тут приведено.

Осталось охарактеризовать такие полиномы, которые неинвариантны по отношению к действию элементов из $S_n\setminus G$

 
 
 [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group