бесконечные системы

[laptop]

здравствуйте. кто-нибудь сталкивался с бесконечной системой линейных уравнений, матрицу коэффициентов(некоторые функции) которой нужно обратить, так чтобы получилось решение в явном виде?
подскажите, плз...

[AlexValk]

Такие задачи возникают, в частности, если искать решение дифференциального или интегрального линейного уравнения в виде разложения в ряд по системе функций, отличных от собственных функций задачи. См., например, уравнение Хилла, http://mathworld.wolfram.com/HillDeterminant.html.
Более внятный ответ возможно удалось бы дать, если бы Вы привели свою бесконечную матрицу (или хотя бы ее структуру) в явном виде.

[Kallikanzarid]

laptop в сообщении #489787 писал(а):

здравствуйте. кто-нибудь сталкивался с бесконечной системой линейных уравнений, матрицу коэффициентов(некоторые функции) которой нужно обратить, так чтобы получилось решение в явном виде?

Конечно: $Df = u, f(x_0) = f_0$, где $f, u \in C^\infty(\mathbb{R})$, $D$ - линейный оператор дифференцирования.

Подробней, имеем линейный оператор $A: C^\infty(\mathbb{R}) \to C^\infty(\mathbb{R}) \oplus \mathbb{R}$, $A = (D \oplus \delta(x - x_0)) \circ \Delta$. Обратимость следует из существования и единственности решения задачи Коши. Чтобы возникли матрицы, нужно выбрать базисы и выписать матрицу оператора.

Однако в этой задаче матрица вполне может иметь бесконечное число ненулевых коэффициентов в каждом столбце и каждой строке, если вы хотите более алгебраическую задачу, рассмотрите аналог этой задачи с формальным дифференцированием в пространстве многочленов.

[Oleg Zubelevich]

Kallikanzarid в сообщении #490821 писал(а):

Чтобы возникли матрицы, нужно выбрать базисы и выписать матрицу оператора.

Объясните plz, что Вы называете базисом в $C^\infty(\mathbb{R})$. А заодно выпишите матрицу для $\frac{d}{dx}:C^\infty(\mathbb{R})\to C^\infty(\mathbb{R})$

[sergei1961]

Есть хорошая книга по теме: Кук Р. Бесконечные матрицы и пространства последовательностей.
А вообще там всё не так. Например, решения урезанных конечных систем часто не сходятся к решениям бесконечных и тд.

[Kallikanzarid]

Oleg Zubelevich
Каюсь, я по ошибке подумал, что $C^\infty(\mathbb{R})$ банахово относительно обычной нормы :) Можно, конечно, выкрутиться с помощью базиса Гамеля, но я этого делать не буду :)

[Oleg Zubelevich]

Kallikanzarid в сообщении #491333 писал(а):

Можно, конечно, выкрутиться с помощью базиса Гамеля, но я этого делать не буду :)

Не не будите, а не сможите. В базисе Гамеля, в данном случае, элементов более чем счетно. Так, что с матрицей не выйдет.

[Kallikanzarid]

Oleg Zubelevich в сообщении #491365 писал(а):

Не не будите, а не сможите. В базисе Гамеля, в данном случае, элементов более чем счетно. Так, что с матрицей не выйдет.

Ок :)

[laptop]

явной структу матрицы нет. исследовательская задачка. вы лишний раз убедили меня в безнадежности моей задачи.спасибо :)