Задача о разбиении числа [Комбинаторика]

[Whitaker]

Здравствуйте уважаемые!
Помогите разобраться с такой задачей:
Доказать, что число $n$ можно $\Big[\dfrac{n^2-6n+12}{12} \Big]$ способами разбить на три попарно неравные части. Представления, различающиеся порядком слааемых, считаются различными.

Вот моя попытка решения:
Шаг первый: Определим для начала сколько решений уравнения $x_1+x_2+x_3=n$ имеет в натуральных числах. Число решения данного уравнения в натуральных числах равно $C_{(n-3)+2}^{3-1}=C_{n-1}^{2}=\dfrac{n^2-3n+2}{2}$.
Шаг второй: Нужно воспользоваться формулой включений-исключений.
Пусть $N(\overline{x_1=x_2},\overline{x_2=x_3}, \overline{x_3=x_1})$ - количество разбиений числа $n$ на три попарно неравные слагаемые.
$N(\overline{x_1=x_2},\overline{x_2=x_3}, \overline{x_3=x_1})=N-N({x_1=x_2})-...-N(x_1=x_2,x_2=x_3, x_3=x_1)$
Где $N=\dfrac{n^2-3n+2}{2}$
Если число $n$ делится на $3$, то имеется представление в котором все слагаемые равны.
Если два слагаемые равны, то они определяют третье.
При $n$ четном будет $\dfrac{n-2}{2}$, а при $n$ нечетном будет $\dfrac{n-1}{2}$
Шаг третий: И величину $N(\overline{x_1=x_2},\overline{x_2=x_3}, \overline{x_3=x_1})$ нужно разделить на $3!=6$.

В ответе сказано, что нужно рассмотреть четыре случая:
$n=6k, n=6k\pm1, n=6k\pm2, n=6k\pm3$.
Но у меня возникли следующие вопросы:
1) Почему именно такие случаи?
2) Почему во всех присутствует слагаемое $6k$?
3) А как же случаи $n=6k\pm4, n=6k\pm5$
Буду рад если кто-нибудь поможет с ответами на эти вопросы.

C уважением, Whitaker.

[Whitaker]

Неужели никто не может объяснить?

[Whitaker]

Ответьте пожалуйста на мои вопросы.
Очень интересуют.

[nnosipov]

Whitaker в сообщении #490611 писал(а):

В ответе сказано, что нужно рассмотреть четыре случая:
$n=6k, n=6k\pm1, n=6k\pm2, n=6k\pm3$.
Но у меня возникли следующие вопросы:
1) Почему именно такие случаи?
2) Почему во всех присутствует слагаемое $6k$?
3) А как же случаи $n=6k\pm4, n=6k\pm5$
Буду рад если кто-нибудь поможет с ответами на эти вопросы.

Здесь перебираются все значения $n$ в зависимости от остатка при делении на 6. Случай $n=6k \pm 4$ эквивалентен случаю $n=6k \pm 2$, случай $n=6k \pm 5$ --- случаю $n=6k \pm 1$.

[Whitaker]

Большое спасибо nnosipov!
Всё понял уже!

[zhoraster]

Whitaker, устное замечание за искусственное поднятие темы бессодержательными сообщениями.